是不是任意可逆矩阵都可进行 $$LDU 分解呢其实不能，消元操作需要除以对角元素 ${}_{}$0 时则会失败。这时可在下面行中选择任一对角元素不为 $0$0 的行对调这两行，则可继续消元例如

$\begin{array}{ccc}0& 0& \\ & & \\ 0& & \end{array}$

0 0

此时第一列元素除對角线外已经都是 $0$0 同理消除第二列时，第二行对角线元素为 $0$0 此时也需要对调后两行，矩阵变换为

$\begin{array}{ccc}& & \\ 0& & \\ 0& 0& \end{array}$

重要性质 对任意可逆矩阵经过适当嘚行对调操作，可以分解为 $$

类似消元操作行对调操作也可以用矩阵乘法实现，该矩阵称为置换矩阵

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A 列向量左乘置换矩阵 ${}_{}$Pij? 就是对调向量的

${}_{}$Pij?A 就是对调矩阵 $$

PTP=E 。对矩阵进行多次行对调操作就是多个置换矩阵连乘，记为 $$E 进行相应的多次行对调结果

${}_{}{}_{}\begin{array}{ccc}0& 0& \\ & 0& 0\\ 0& & 0\end{array}$

重要性质 对任意可逆矩阵 $$A，经过适当的行对调操作 $$

我们还可以换个角度看待 $$PA=LDU 由于各矩阵均可逆，得 ${}^{}$A?1通过高斯消元法可得到逆矩阵 ${}^{}{}^{}{}^{}{}^{}$D 可逆，需对角元素均不为零故矩阵 $$A 主元均不为零时，矩阵 $$

A 是对称矩阵时假设没有行对调，则 $$

重要性质 对称矩阵假设没有行对调，则可以分解为 ${}^{}$