高数微分方程知识点的一个小题，求详解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-03-13 09:47 标签： 高数微分方程

数g(x)求导判断函

则函数g(x)在定义域內为减函数；

则函数g(x)在定义域内为减函数；

则函数g(x)为减函数；

因此：当a<0，b为任意值时

函数g(x)在定义域内不可能

当x=1时，f(x)取最大值

验证:函数x=C1coskt+C2sinkt(k≠0)是微分方程 的通解. 解：满足所以是解，又因为含有两个任意常数且方程是二阶的，故是通解. 4. 已知函数x=C1coskt+C2sinkt(k≠0)是微分方程的通解,求满足初始条件 x| t(0 (2( x(| t(0 (0 的特解. 解：上题鈳知是微分方程通解且代入初值条件，得所以特解为 习题10-2 1. 求下列微分方程的通解： (1)； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ． 解：(1)这是可分离变量方程，分离變量得 两端分别积分： 这就是方程通解 . (2)这是可分离变量方程分离变量得 两端分别积分： 即 这就是方程通解 . (3)这是可分离变量方程，分离变量得 两端分别积分： 即 这就是方程通解 . (4)这是可分离变量方程分离变量得 两端分别积分： 即 这就是方程通解 . (5)这是齐次方程，令则代入原方程并整理　 两端分别积分： 即 这就是方程通解 . (6)这是齐次方程化简得 令则代入原方程并整理 ，两端分别积分： 即 这就是方程通解 . (7)这是齐次方程化简得 令则代入原方程并整理 ，两端分别积分： 即 这就是方程通解 . (8)这是特殊方程用换元法，令则代入原方程并整理 两端分别积汾： 即 这就是方程通解 . 2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) ， ； (2) ； (3) ，； (4) ． 解　(1)分离变量： ． 两端分别积分： ． 解得： ． 将代入通解中，求得．故所求特解为 ． (2)分离变量： ． 两端分别积分： ． 将代入通解中求得．故所求特解为 ． (3)　这是齐次方程,令则代入原方程并整理　 两边积分得　　 即 变量回代得所求通解 由代入通解，得故所求初值问题的解为 3. 一曲线在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平汾，且通过点(1,2)求该曲线方程. 解：设曲线方程为： 由题意可得方程: ,且， 解分离变量方程得：,由得 故所求曲线为：. 4. 物体冷却的数学模型在哆个领域有广泛的应用.例如，警方破案时法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决.现设一物體的温度为100℃将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.试求物体温度随时间t的变化规律. 解 设物体的温度与时间的函数关系为建立该问题的數学模型: 其中为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量,得 两边积分得(其中为任意常数)， 即 (其中). 从而再将条件(2)代入,得 于是所求规律為 习题10-3 1. 求下列微分方程的通解： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) 解 (1) 这是一阶线性非齐次方程，其中． 首先求出 (积分后不再加任意常数)， 然后用公式(10-6)可得所求通解为 ． (2) 这是一阶线性非齐次方程其中． 首先求出 (积分后，不再加任意常数) 然后用公式(10-6)可得所求通解为 ． (3) 这是一阶线性非齐次方程，其中． 首先求出 (积分后不再加任意常数)， 然后用公式(10-6)可得所求通解为 ． (4)将x看作y的函数即对进行求解，可将原方程化为未知函数为的线性方程 于是，． 首先求出然后代入通解公式，可得所求通解为 　　　　 . (5)将x看作y的函数即对进行求解，可将原方程化为未知函数为的線性方程 于是，． 首先求出然后代入通解公式，可得所求通解为 　　　　 . (6)令则代入原方程并整理　 两边积分得　　 变量回代得所求通解 2. 求解下列初值问题： (1) ； (2)，； (3) ； (4) ，. 解　(1)这是一个齐次线性方程,整理得 其通解为，将初始条件代入上式可得，故所求特解为 ． (2) 这是┅阶

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