因式_百度百科
[yīn shì]
多项式被另一多项式整除,后者即是前者的因式，如果多项式 f(x) 能够被 g(x) 整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。当然，这时 q(x) 也是 f(x) 的一个因式，并且 q(x) 、g(x) 的次数都不会大于 f(x) 的次数。
如果多项式 f(x) 能够被 g(x)整除，即可以找出一个多项式 q(x) ，使得 f(x)=q(x)·g(x)，那么g(x) 就叫做 f(x) 的一个因式。
g(x)≠0，但 q(x) 可以等于0（当 f(x)=0 时）。
一个数也可以看做一个因式。
把一个多项式化成几个乘积的形式，这种变形叫做分解因式，又叫做因式分解。
可以直接计算，或运用公式。
常用的公式有：a^2-b^2=(a+b)(a-b)
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).
注：通常情况下，分解因式要求分解彻底，即所有因式均无法再次分解因式。
分解因式的方法
⑴提公因式法
①：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
②：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.。
am+bm+cm=m（a+b+c）
③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的.
①：. a^2－b^2=(a+b)(a－b)
②： a^2±2ab+b^2=(a±b)^2
※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是,其中有两项能写成两个数(或式)的的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
③：a^3+b^3= (a+b)(a^2-ab+b^2)。
：a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2)。
④： a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3
⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]
a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)
⑶分组分解法
：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法。
分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提或运用公式。
⑷拆项、补项法
拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上的两项（或几项），使原式适合于、运用或进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形。
⑸十字相乘法
①x^2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解
这类二次的特点是：二次项的系数是1；是两个数的积；是常数项的两个的和。因此，可以直接将某些二次项的是1的二次三项式： x^2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，那么
kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．
a \-----/b ac=k bd=n
c /-----\d ad+bc=m
※ 多项式因式分解的一般步骤：
①如果多项式的各项有，那么先提公因式；
②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、来分解；
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；
④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
⑹应用因式定理
如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。因式分解易错问题的原因分析及解决对策
因式分解易错问题的原因分析及解决对策
现行北师大版八年级下册数学教材，因式分解一章主要内容有：分解因式的概念及其应用、分解因式的常用方法，主要是提公因式法、运用公式法（包括平方差公式与完全平方公式）。由于分解因式要用到的知识较多，计算也相对比较复杂，因此在实际分解因式的过程中容易出错，下面简单分析各种类型错误的原因及解决对策。
一、提公因式后失项
例1、分解因式：–4a3b3 +
错解：原式=–2ab ( 2a2b2–3a)
剖析：在提取公因式时，如果一个多项式有n项，那么提取公因式后，剩下的多项式仍为n项。错解中在提取公因式后，最后一项应剩下1，而不是0。之所以认为是0的原因是以为提出公因式–2ab后，最后一项给提出来了，所以也就没有了，这是错误的想法。其实提出公因式–2ab后，剩下的应是原来的多项式–4a3b3
6a2b–2ab除以公因式–2ab后的商式。在这里用到了多项式除以单项式的整式除法知识。
正解：原式=–2ab ( 2a2b2–3a +1 )
二、提不彻底
例2、分解因式：3a( a–b )2 + 6ab ( b–a )
错解：原式 = 3a( a–b )2–6ab( a–b ) = ( a–b ) [3a
( a–b )–6ab ]
= ( a–b ) ( 3a2–3ab–6ab) = (a–b)(
3a2–9ab )
剖析：在运用提公因式法分解因式时，公因式的确定顺序应是：先确定公因式的因数（取各项系数的最大公约数），然后确定相同的字母因式（取各项相同字母的最低次幂），最后确定相同的多项式因式（取各项相同多项式的最低次幂），否则往往出现错解中分解不彻底的错误。
正解：原式 = 3a( a–b )2–6ab( a–b ) =3a ( a–b ) [
( a–b )–2b ]
= 3a( a–b ) ( a–b–2b) = 3a(a–b)( a–3b )
三、符号混乱
例3、分解因式：6( m–n )3–12( n–m )2
错解：原式 = 6( m–n )3 + 12( m–n )2 = 6(
m–n )2 [ ( m–n ) + 2 ]
= 6( m–n )2( m–n + 2 )
剖析：受课本例题a ( x–y ) + b ( y–x ) = a ( x–y )–b( x–y )
的影响，以为凡是被减数与减数的位置变换时，括号前的符号都要改变。其实，对于式子
)n，当变换被减数y与减数x的位置时，括号前的符号是否需要改变，还得看指数n，当n是奇数时，(
=–(x–y)n，也就是说，当n是奇数时，括号前的符号要改变，当n是偶数时，则不需要改变。
正解：原式 = 6( m–n )3 –12( m–n )2 = 6(
m–n )2 [ ( m–n )–2 ]
= 6( m–n )2( m–n–2 )
例4、分解因式：6 ( p + q )2–12 (q + p )
错解：原式 = 6 ( p + q )2 + 12 (p + q ) = 6( p + q )(
p + q + 2 )
剖析：受 ( y–x )n =–( x–y
)n（其中n为奇数）的影响，以为也有 ( y + x )n
=–( x + y )n，其实，当n是奇数时，等式 ( y–x
)n =–( x–y )n的变化过程是这样的：
( y–x )n = [–( x–y ) ]n =
(–1)n·( x–y )n =–( x–y )n
而由加法的交换律：y + x = x + y，故 ( y + x )n = ( x
正解：原式 = 6 ( p + q )2 –12 (p + q ) = 6( p + q )(
p + q–2 )
例5、分解因式：9( m + n )2–16 ( n–m
错解：原式 = 9( m + n )2–16( m + n )2
=–7( m + n )2
剖析；主要是因为初一时没学过添括号法则，因此误解为n–m =–( m +
n )。其实，我们可以运用逆向思维，运用去括号法则，把式子–( m + n )
去括号得：–( m + n ) =–m–n，显然与n–m不相等，因而n–m =–( m +
n ) 是错误的。正确的应是n–m =–( m–n )。
正解：原式= [3( m + n )]2–[4( n–m )]2 =
[3( m + n ) + 4( n–m ) ][3 ( m + n )–4 ( n–m )]
= ( 3m + 3n +4n–4m )( 3m+3n–4n + 4m ) = ( 7n–m ) ( 7m–n
四、概念混乱
例6、分解因式：( 2m + n )2–( m + 2n
错解：原式 = [( 2m + n ) + ( m + 2n )][( 2m + n )–( m + 2n
= ( 2m + n + m + 2n ) ( 2m + n–m–2n ) = ( 3m + 3n )( m–n
= 3( m + n )( m–n ) = 3 ( m2–n2 )
剖析：主要是把分解因式与整式乘法的概念混乱。受七年级学习所形成的惯性思维影响，认为凡是遇到
( a + b )( a–b ) 的式子，都应运用整式乘法的平方差公式，计算出结果
a2–b2，于是当得到结果3( m + n )( m–n )
时，往往易习惯写成了3 ( m2–n2
)，而忽视了分解因式是将多项式和（差）的形式变成几个整式的积的形式。
正解：原式 = [( 2m + n ) + ( m + 2n )][( 2m + n )–( m + 2n
= ( 2m + n + m + 2n ) ( 2m + n–m–2n ) = ( 3m + 3n )( m–n
= 3( m + n )( m–n )
五、分而不尽
这是进行分解因式过程中的最常见错误之一。
例7、分解因式：–a + 2a2–a3
错解：原式 =–a ( 1–2a + a2 )
剖析：主要认为分解因式总是能一步就得到结果或者总是只能用一种分解因式的方法。其实，分解因式的结果应该是使每一个多项式因式都不能再分解为止。对于本题来说，我们应该保证因式–a与因式1–2a
+ a2都不能再分解因式，但事实上，我们容易发现多项式1–2a
+ a2 还能再分解为 (1–a )2。
正解：原式 = –a ( 1–2a + a2 ) = –a (1–x
又如：例8、分解因式：( a2 + b2
错解：原式 = (a2 + b2 + 2ab ) (
a2 + b2–2ab)
或错解：原式 = a4 +
2a2b2+b4–2a2b2
= a4–2a2b2+b4 = (
剖析1：主要认为运用公式法分解因式往往只能用一种公式（平方差公式或完全平方公式），没有考虑到因式
a2 + b2 + 2ab与因式a2 +
b2–2ab都还能运用完全平方公式再分解，也必须进行再分解。
教材中提到“当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再一步分解因式“。这句话既包含了两层意思，第一层是：分解因式的步骤是先提公因式，然后再看能否再运用公式法进一步分解。第二层是分解因式的结果必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
正解：原式 =& (a2 + b2 +
2ab ) ( a2 + b2–2ab) = ( a + b )2
六、分而不合
例9、分解因式：16( a–b )2–9 ( a + b
错解：原式 = [ 4 ( a–b ) + 3( a + b )][ 4( a–b )–3( a + b
剖析：以为分解因式就只需要把多项式化为几个整式的积即可，忽视了分解因式的结果往往应不含有中括号，也就是说，分解因式的结果里每一个因式都必需进行化简。
正解：原式 = [ 4 ( a–b ) + 3( a + b )][ 4( a–b )–3( a + b
= ( 4a–4b + 3a + 3b ) (4a–4b–3a–3b ) = ( 7a–b)(a–7b )
七、概念不清
例10、分解因式：16x2–4
错解：原式 =& ( 4x + 2 )( 4x–2 )
剖析：对多项式的公因式的概念理解不清，多项式公因式的概念是：多项式中各项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。因此误认为多项式的公因必须含有字母，这种认识是错误的。其实，公因式有时可以是单个数字、单个字母或多项式。
正解：原式 = 4 ( 4x2–1 ) = 4( 2x + 1 )( 2x–1 )
例11、分解因式：3ax2–3ay4
错解：原式 = 3a ( x2–y4 ) = a ( x +
y2 )( x–y2 ) = 3a y2 ( x + 1 )(
剖析：误以为第一个因式x +
y2与第二个因式x–y2有公因式y2，对多项式公因式误解了，以为只要有相同的字母都叫做公因式。其实对于a
( x + y2 )( x–y2 ) 来说，因式x +
与x–y2是两个不同的多项式因式，能否再用提公因式法分解因式，关键在于因式x
+ y2是否有公因式，因式x–y2是否有公因式。
正解：原式 = 3a ( x2–y4 ) = a ( x +
y2 )( x–y2 )
八、分解因式的步骤混乱
例12、分解因式：4x4–4
错解：原式 = ( 2x2 + 2)( 2x2–2 )
剖析：分解因式的步骤应是：当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再运用公式法或其它方法进一步分解。错解中由于多项式4x4–4
刚好符合平方差公式，因此往往受惯性思维影响而直接运用平方差公式分解因式，忽视了要先提公因式后再分解，导致了分解因式不彻底等错误。
正解：原式 = 4( x4–1 ) = 4( x2 + 1 ) (
x2–1 ) =& 4( x2 + 1 ) ( x +
1 )( x–1 )
九、公式混乱
例13、分解因式：2x3–8x
错解：原式 = 2x ( x2–4 ) =2x ( x + 2 )( x–2 ) =2x (
x2–4 ) =2x ( x–2 )2
剖析：把平方差公式a2–b2 = ( a + b )( a–b
) 与完全平方公式 a2 ± 2ab +
b2混为一谈。其实平方差公式在形式上与完全平方公式有本质的区别，首先，平方差公式只含有两项，而完全平方公式则含有三项。其次，平方差公式中的平方项是异号的，而完全平方公式中的平方项是同号的。
正解：原式 = 2x ( x2–4 ) =2x ( x + 2 )( x–2 )
例14、分解因式：x3–4x2y + 9x
y2 = x ( x2–4xy + 9y2 ) = x (
剖析：分解因式的过程中，总以为出现了第一个数的平方与第二个数的平方和，且多项式有三项，那么一定能运用完全平方公式分解。其实，能否运用完全平方公式分解，还需看各项的系数是否满足：中间一项的系数
头尾两平方项系数的积的两倍，否则不能完全平方公式分解因式。
例15、分解因式：–x2 + y2
错解1：原式 = (–x + y )(–x–y )
剖析：以为–x2 = (–x
)2，于是误用平方差公式。
正解：原式 =–(x2–y2 ) = –( x + y )(
错解2：原式 = ( x + y )( x–y )
剖析：总以为平方差公式就是两数和与两数差的积。事实上，平方差公式中那一项写在前面，完全由公式a2–b
2 = ( a + b )( a–b )
两项的符号来确定，正号的作为被减数，应写在前面。
正解：原式 =（ x2–y2 ）= –( x + y )(
十、学而不会用
例16、试分析257–512 能否被120整除。
错解：不会
剖析：学习数学的真正目的在于我们能否用数学的眼光来观察生活现象，或用来解决新的数学问题。本题中有两个难点，第一个是发现257–512中没有公因式，又不能运用平方差公式进行分析因式，于是就不知道如何才能解决这个问题了。其实257
= ( 52 )7 =
514。第二个是当得到式子512×24时，也不知道如何判断它是否能被120整除，这是整除的知识与方法了。如果我们能把512×24再分解成含有因数120，那么原式也就能被120整除。
正解：原式 = 514–512 = 512(
52–1 ) = 512 ( 5 + 1 ) (5–1)
= 512×24 = 511×5×24 =
因此257–512 能被120整除。
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2都含有的的因式叫做这个多项式各项的公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。口诀：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶。例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)ma(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。注意：把变成不叫提公因式公式法如果把乘法反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。平方差公式：反过来为完全平方公式：反过来为反过来为注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。1两根式：立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)完全立方公式：a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)例如：a2+4ab+4b2&=(a+2b)21．分解因式技巧：①分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。2．提公因式法基本步骤：（1）找出公因式（2）提公因式并确定另一个因式①第一步找公因式可确定公因式的方法先确定系数再确定字母②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数解方程法通过解方程来进行因式分解，如：X2+2X+1=0&,解，得X1=-1，X2=-1，就得到原式=（X+1）×（X+1
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①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。也可以用一句话来：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。”
因式分解 -
1．分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2．解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（补项）=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（完全平方）=[(1+y)+x2(1-y)]2-(2x)2=[(1+y)+x2(1-y)+2x][(1+y)+x2(1-y)-2x]=(x2-x2y+2x+y+1)(x^2-x2y-2x+y+1)=[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-y(x2-1)]=[(x+1)2-y(x+1)(x-1)][(x-1)2-y(x+1)(x-1)]=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．2．求证：对于任何整数x,y，下式的值都不会为33：x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5．解：原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5)=x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y)=(x+3y)(x4-5x2y2+4y4)=(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．当y=0时，原式=x5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原成立。3．．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c2+a2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。证明：∵-c2+a2+2ab-2bc=0，∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．∴(a-c)(a+2b+c)=0．∵a、b、c是△ABC的三条边，∴a+2b+c&0．∴a－c=0，即a=c，△ABC为等腰三角形。
因式分解 -
因式分解中的四个，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举下例，可供参考。例1&把-a2-b2+2ab+4分解因式。解：-a2-b2+2ab+4=-(a2-2ab+b2-4）=-[(a-b)2-4]=-(a-b+2)(a-b-2)这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2+4y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的错误。这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2-5x2y2-9y2=y2(4x4-5x2-9)=y(x+1)(4x2-9)的错误，因为4x2-9还可分解为(2x+3)(2x-3)。
因式分解 -
1．&应用于除法。a(b-1)(ab+2b+a)说明：(ab+b)2-(a+b)2&=&(ab+b+a+b)(ab+b-a-b)&=&(ab+2b+a)(ab-a)&=&a(b-1)(ab+2b+a)．2、应用于高次方程的求根。3．应用于分式的通分与约分顺带一提，梅森合数分解已经取得一些微不足道的进展：1，p=4r+3，如果8r+7也是素数，则：(8r+7)|(2P-1)。即（2p+1）|（2P-1）
因式分解 -
平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2立方和（差）两数差乘以它们的平方和与它们的积的和等于两数的立方差。即a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)证明如下：（&a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3所以a3-b3=(a-b)3-[-3(a2)b+3ab2]=(a-b)(a-b)2+3ab(a-b)=(a-b)(a2-2ab+b2+3ab)=(a-b)(a2+ab+b2)同理&a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)十字相乘公式十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。要务必注意各项系数的符号。(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab拆添项法&
这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)．配方法&
对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：x2+3x-40
=x2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)2-(6.5)2
=(x+8)(x-5)．因式定理&
对于多项式f(x)，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．
例如：f(x)=x2+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x2+5x+6的一个因式。(事实上，x2+5x+6=(x+2)(x+3)．)
注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数
2．对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数换元法&
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意：换元后勿忘还元。
例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12时，可以令y=x2+x,则
原式=(y+1)(y+2)-12
=y2+3y+2-12=y2+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x2+x+5)(x2+x-2)
=(x2+x+5)(x+2)(x-1)．综合除法
令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，……，xn，则该多项式可分解为f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)&．
例如在分解2x4+7x3-2x2-13x+6时，令2x4&+7x3-2x2-13x+6=0，
则通过综合除法可知，该方程的根为0.5&，-3，-2，1．
所以2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．
令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1,x2,x3,……xn&，则多项式可因式分解为f(x)=&f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．
与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。主元法&
例如在分解x3+2x2-5x-6时，可以令y=x3+2x2-5x-6.
作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2
则x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。特殊值法&
将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
例如在分解x3+9x2+23x+15时，令x=2，则
x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105，
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7&．
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，
则x3+9x2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。待定系数法&
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例如在分解x4-x3-5x2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
于是设x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)
=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd
ac+b+d=-5，
ad+bc=-6，
解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．
则x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)．
也可以参看右图。双十字相乘法&
双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。
双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下：
ax2+bxy+cy2+dx+ey+f
x、y为未知数，其余都是常数
用一道例题来说明如何使用。
例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12．
分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。
解：图如下，把所有的数字交叉相连即可
x&　2y&　2
x&　3y　&6
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．
双十字相乘法其步骤为：
①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)
②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6)
③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。
④横向相加，纵向相乘。二次多项式&
（根与系数关系二次多项式因式分解）
例：对于二次多项式&aX2+bX+c(a≠0)
当△=b2-4ac≥0时，设aX2+bX+c=0的解为X1,X2
=a(X2-(X1+X2)X+X1X2)
=a(X-X1)(X-X2).
因式分解 -
①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解
④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。”
因式分解 -
1．分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2．
解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（补项）
=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（完全平方）
=[(1+y)+x2(1-y)]2-(2x)2
=[(1+y)+x2(1-y)+2x][(1+y)+x2(1-y)-2x]
=(x2-x2y+2x+y+1)(x^2-x2y-2x+y+1)
=[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-y(x2-1)]
=[(x+1)2-y(x+1)(x-1)][(x-1)2-y(x+1)(x-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．
2．求证：对于任何整数x,y，下式的值都不会为33：
x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5．
解：原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5)
=x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y)
=(x+3y)(x4-5x2y2+4y4)
=(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．
当y=0时，原式=x5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。
3．．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c2+a2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。
分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。
证明：∵-c2+a2+2ab-2bc=0，
∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．
∴(a-c)(a+2b+c)=0．
∵a、b、c是△ABC的三条边，
∴a+2b+c&0．
∴a－c=0，
即a=c，△ABC为等腰三角形。
4．把-12x2n×yn+18xn+2yn+1-6xn×yn-1分解因式。
解：-12x2n×yn+18xn+2yn+1-6xn×yn-1
=-6xn×yn-1(2xn×y-3x2y2+1)．
因式分解 -
因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举下例，可供参考。
例1&把-a2-b2+2ab+4分解因式。
解：-a2-b2+2ab+4=-(a2-2ab+b2-4）=-[(a-b)2-4]=-(a-b+2)(a-b-2)
这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2+4y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的错误。
这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。
分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2-5x2y2-9y2=y2(4x4-5x2-9)=y(x+1)(4x2-9)的错误，因为4x2-9还可分解为(2x+3)(2x-3)。
考试时应注意：
在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数！
由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的。
因式分解 -
1．&应用于多项式除法。
：a(b-1)(ab+2b+a)
　　说明：(ab+b)2-(a+b)2&=&(ab+b+a+b)(ab+b-a-b)&=&(ab+2b+a)(ab-a)&=&a(b-1)(ab+2b+a)．
2．&应用于高次方程的求根。
3．&应用于分式的通分与约分
顺带一提，梅森合数分解已经取得一些微不足道的进展：
1，p=4r+3，如果8r+7也是素数，则：(8r+7)|(2P-1)。即（2p+1）|（2P-1）
23|(211-1);；11=4×2+3
47|(223-1);；23=4×5+3
167|(283-1);,,,.83=4×20+3
2,p=2n×32+1,，则（6p+1）|(2P-1)，
例如：223|(237-1)；37=2×2×3×3+1
439|(273-1)；73=2×2×2×3×3+1
-1)；577=2×2×2×2×2×2×3×3+1
3，p=2n×3m×5s-1,则（8p+1）|（2P-1）
例如；233|(229-1)；29=2×3×5-1
-1)；179=2×2×3×3×5-1
1913|（2239-1）；239=2×2×2×2×3×5-1
因式分解 -
1.&5ax+5bx+3ay+3by=2.&x^3-x^2+x-1=3.&x2-x-y2-y=
因式分解 -
1.(5x+3y)(a+b)2.(x-1)(x^2+1)3,(x+y)(x-y-1)
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