因式分解（factorization）
因式分解 -
因式分解是中学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等．
因式分解 -
十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公因式分解没有普遍适用
1的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法式法，换元法，长除法，短除法，除法等。注意四原则：1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）2．最后结果只有小括号3．最后结果中多项式首项为正（例如：-3x2+x=x(-3x+1)）不一定首项一定为正，如-2x-3xy-4xz=-x(2+3y+4z)归纳方法：1．提公因式法。2．运用公式法。3．拼凑法。提取公因式法各项
2都含有的的因式叫做这个多项式各项的公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。口诀：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶。例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)ma(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。注意：把变成不叫提公因式公式法如果把乘法反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。平方差公式：反过来为完全平方公式：反过来为反过来为注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。1两根式：立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)完全立方公式：a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)例如：a2+4ab+4b2&=(a+2b)21．分解因式技巧：①分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。2．提公因式法基本步骤：（1）找出公因式（2）提公因式并确定另一个因式①第一步找公因式可确定公因式的方法先确定系数再确定字母②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数解方程法通过解方程来进行因式分解，如：X2+2X+1=0&,解，得X1=-1，X2=-1，就得到原式=（X+1）×（X+1
因式分解 -
分组分解法分组分解是分解因式的一种简洁的方法，下面是这个方法的详细讲解。能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。同样，这道题也可以这样做。ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)几道例题：1．&5ax+5bx+3ay+3by解法：=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。2．&x2-x-y2-y解法：=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。三一分法，例：a^2-b^2-2bc-c^2=a^2-(b+c)^2=(a-b-c)(a+b+c)十字相乘法十字相乘法在时是一个很好用的方法，也很简单。这种方法有两种情况。①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)&．例1：x2-2x-8=(x-4)(x+2)②kx2+mx+n型的式子的因式分解如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=(ax+c)(bx+d)．例2：分解7x2-19x-6双十字相乘法双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下：ax2+bxy+cy2+dx+ey+fx、y为未知数，其余都是常数用一道来说明如何使用。例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12．分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。解：图如下，把所有的数字交叉相连即可x&　2y&　2x&　3y　&6∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．双十字相乘法其步骤为：①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6)③再按另一个字母（如x）的一次系数进行，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。④纵向相乘，横向相加。二次多项式（根与系数关系二次多项式因式分解）例：对于二次多项式&aX2+bX+c(a≠0).当△=b2-4ac≥0时，设aX2+bX+c=0的解为X1,X2=a(X2-(X1+X2)X+X1X2)=a(X-X1)(X-X2).
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①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。也可以用一句话来：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。”
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1．分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2．解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（补项）=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（完全平方）=[(1+y)+x2(1-y)]2-(2x)2=[(1+y)+x2(1-y)+2x][(1+y)+x2(1-y)-2x]=(x2-x2y+2x+y+1)(x^2-x2y-2x+y+1)=[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-y(x2-1)]=[(x+1)2-y(x+1)(x-1)][(x-1)2-y(x+1)(x-1)]=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．2．求证：对于任何整数x,y，下式的值都不会为33：x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5．解：原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5)=x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y)=(x+3y)(x4-5x2y2+4y4)=(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．当y=0时，原式=x5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原成立。3．．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c2+a2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。证明：∵-c2+a2+2ab-2bc=0，∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．∴(a-c)(a+2b+c)=0．∵a、b、c是△ABC的三条边，∴a+2b+c&0．∴a－c=0，即a=c，△ABC为等腰三角形。
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因式分解中的四个，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举下例，可供参考。例1&把-a2-b2+2ab+4分解因式。解：-a2-b2+2ab+4=-(a2-2ab+b2-4）=-[(a-b)2-4]=-(a-b+2)(a-b-2)这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2+4y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的错误。这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2-5x2y2-9y2=y2(4x4-5x2-9)=y(x+1)(4x2-9)的错误，因为4x2-9还可分解为(2x+3)(2x-3)。
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1．&应用于除法。：a(b-1)(ab+2b+a)　　说明：(ab+b)2-(a+b)2&=&(ab+b+a+b)(ab+b-a-b)&=&(ab+2b+a)(ab-a)&=&a(b-1)(ab+2b+a)．2．&应用于高次方程的求根。3．&应用于分式的通分与约分顺带一提，梅森合数分解已经取得一些微不足道的进展：1，p=4r+3，如果8r+7也是素数，则：(8r+7)|(2P-1)。即（2p+1）|（2P-1）
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平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2立方和（差）两数差乘以它们的平方和与它们的积的和等于两数的立方差。即a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)证明如下：（&a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3所以a3-b3=(a-b)3-[-3(a2)b+3ab2]=(a-b)(a-b)2+3ab(a-b)=(a-b)(a2-2ab+b2+3ab)=(a-b)(a2+ab+b2)同理&a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)十字相乘公式十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。要务必注意各项系数的符号。(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
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提取公因式法
　　各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式。
　　如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。
　　具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数
时，公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都
　　口诀：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶。
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【练习题】
　　1.&5ax+5bx+3ay+3by=
　　2.&x^3-x^2+x-1=
　　3.&x2-x-y2-y=
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【参考答案】
　　1.(5x+3y)(a+b)
　　2.(x-1)(x^2+1)
　　3,(x+y)(x-y-1)
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因式分解练习题及答案,要初二的因式分解题,要计算题,不要填空的,50道,
要初二的因式分解题,要计算题,不要填空的,50道,
因式分解(x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4)＝ .41.因式分解2ax2－3x＋2ax－3＝ .42.因式分解9x2－66x＋121＝ .43.因式分解8－2x2＝ .44.因式分解x2－x＋14 ＝ .45.因式分解9x2－30x＋25＝ .46.因式分解－20x2＋9x＋20＝ .47.因式分解12x2－29x＋15＝ .48.因式分解36x2＋39x＋9＝ .49.因式分解21x2－31x－22＝ .50.因式分解9x4－35x2－4＝ .51.因式分解(2x＋1)(x＋1)＋(2x＋1)(x－3)＝ .52.因式分解2ax2－3x＋2ax－3＝ .53.因式分解x(y＋2)－x－y－1＝ .54.因式分解(x2－3x)＋(x－3)2＝ .55.因式分解9x2－66x＋121＝ .56.因式分解8－2x2＝ .57.因式分解x4－1＝ .58.因式分解x2＋4x－xy－2y＋4＝ .59.因式分解4x2－12x＋5＝ .60.因式分解21x2－31x－22＝ .61.因式分解4x2＋4xy＋y2－4x－2y－3＝ .62.因式分解9x5－35x3－4x＝ .63.因式分解下列各式：(1)3x2－6x＝ .(2)49x2－25＝ .(3)6x2－13x＋5＝ .(4)x2＋2－3x＝ .(5)12x2－23x－24＝ .(6)(x＋6)(x－6)－(x－6)＝ .(7)3(x＋2)(x－5)－(x＋2)(x－3)＝ .(8)9x2＋42x＋49＝ .(1)(x＋2)－2(x＋2)2＝ .(2)36x2＋39x＋9＝ .(3)2x2＋ax－6x－3a＝ .(4)22x2－31x－21＝ .70.因式分解3ax2－6ax＝ .71.因式分解(x＋1)x－5x＝ .72.因式分解(2x＋1)(x－3)－(2x＋1)(x－5)＝ 73.因式分解xy＋2x－5y－10＝ 74.因式分解x2y2－x2－y2－6xy＋4＝ x3＋2x2＋2x＋1 a2b2－a2－b2＋1 (1)3ax2－2x＋3ax－2 (x2－3x)＋(x－3)2＋2x－6 1)(2x＋3)(x－2)＋(x＋1)(2x＋3) 9x2－66x＋121 17.因式分解 (1)8x2－18 (2)x2－(a－b)x－ab 18.因式分解下列各式 (1)9x4＋35x2－4 (2)x2－y2－2yz－z2 (3)a(b2－c2)－c(a2－b2) 19.因式分解(2x＋1)(x＋1)＋(2x＋1)(x－3) 20.因式分解39x2－38x＋8 21.利用因式分解求(6512 )2－(3412 )2之值 22.因式分解a(b2－c2)－c(a2－b2) 24.因式分解7(x－1)2＋4(x－1)(y＋2)－20(y+2)2 25.因式分解xy2－2xy－3x－y2－2y－1 26.因式分解4x2－6ax＋18a2 27.因式分解20a3bc－9a2b2c－20ab3c 28.因式分解2ax2－5x＋2ax－5 29.因式分解4x3＋4x2－25x－25 30.因式分解(1－xy)2－(y－x)2 31.因式分解 (1)mx2－m2－x＋1 (2)a2－2ab＋b2－1 32.因式分解下列各式 (1)5x2－45 (2)81x3－9x (3)x2－y2－5x－5y (4)x2－y2＋2yz－z2 33.xy2－2xy－3x－y2－2y－1 34.因式分解y2(x－y)＋z2(y－x) 1)因式分解x2＋x＋y2－y－2xy＝ 35.因式分解x2－25＝ .36.因式分解x2－20x＋100＝ .37.因式分解x2＋4x＋3＝ .38.因式分解4x2－12x＋5＝ .39.因式分解下列各式：(1)3ax2－6ax＝ .(2)x(x＋2)－x＝ .(3)x2－4x－ax＋4a＝ .(4)25x2－49＝ .(5)36x2－60x＋25＝ .(6)4x2＋12x＋9＝ .(7)x2－9x＋18＝ .(8)2x2－5x－3＝ .(9)12x2－50x＋8＝ .(1) 答案：a(b−1)(ab+2b+a)说明：(ab+b)2−(a+b)2 = (ab+b+a+b)(ab+b−a−b) = (ab+2b+a)(ab−a) = a(b−1)(ab+2b+a)．(2) 答案：(x−a)4说明：(a2&#−4ax(x−a)2 = [(a+x)(a−x)]2−4ax(x−a)2 = (a+x)2(a−x)2−4ax(x−a)2 = (x−a)2[(a+x)2−4ax] = (x−a)2(a2+2ax+x2−4ax) = (x−a)2(x−a)2 = (x−a)4．(3) 答案：7xn−1(x&#说明：原式 = 7xn−1 7xn−1 &#xn−1 = 7xn&#&#) = 7xn−1(x&#．
1 x+5) (x-i)
因式分解2ax2－3x＋2ax－3＝ 。
.因式分解9x2－66x＋121＝ 。43.因式分解8－2x2＝ 。44.因式分解x2－x＋14 ＝ 。45.因式分解9x2－30x＋25＝ 。46.因式分解－20x2＋9x＋20＝ 。47.因式分解12x2－29x＋15＝ 。48.因式分解36x2＋39x＋9＝ 。49.因式分解21x2－31x－22＝ 。50.因式...
(x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4)＝(x＋2)(2x+1)
要得太多了老师留得作业吧 给了你你也不会 给你一个自己举一反三吧 那样你会永远都会的 （2x+5）*（5x+2）= 10X+4x+25x+10大X代表小x 的平方
140．m2(p-q)-p+q141．(2m+3n)(2m-n)-4n(2m-n)．142．(x+2y)2-x2-2xy．143．a(ab+bc+ac)-abc．144．ab-a-b+1．145．xyz-xy-xz+x-yz+y+z-1．146．x4-2y4-2x3y+xy3．148．abc(a2+b2+c2)-a3bc+2ab...
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