泰勒公式推导证明

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-01-31 18:06 标签： 数学帝
求泰勒公式证明过程要全的_百度作业帮
求泰勒公式证明过程要全的
泰勒公式：f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f^(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n) 泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a,b）有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于（x-x.）多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间,该余项称为拉格朗日型的余项.（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数,不是f(n)与x.的相乘.）证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx）,其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0,所以在近似计算中往往不够精确)于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n 来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式.设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An.显然,P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!.至此,多项的各项系数都已求出,得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n.接下来就要求误差的具体表达式了：设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0.所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0.根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间)连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!,这里ξ在x.和x之间.但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数,故P(n+1)(x)=0,于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x).综上可得,余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1).一般来说展开函数时都是为了计算的需要,故x往往要取一个定值,此时也可把Rn(x)写为Rn.
要全的还不如去看书，然后看不懂的来问。让人家大面积抄书也太不厚道了基本思想是：一个函数如果无穷次可导，且它有一个多项式形式的等价形式，则两者任意阶导数完全相等。你一层一层求导，就得到各个系数了，就是taylor公式，求导这么简单，不需要别人写吧...
书上的表达方式有很多同学不能理解。
要证明式子 f(x)= Pn(x) +
[f(ξ)*(x-x0)^(n+1)]/[(n+1)!]，
f(x)- Pn(x) = [f(ξ)*(x-x0)^(n+1)]/[(n+1)!]，现在我们引入记号 Rn(x) = f(x)- Pn(x)
这样只要证明 ...
你去抄书吧，估计没有四页也有三页
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泰勒公式证明及应用
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泰勒公式求各种三角函数,如sin,cos,tan,cot最好说明一下泰勒公式怎么推导出来的
最好说明一下泰勒公式怎么推导出来的
　泰勒公式（Taylor's formula）
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+Rn(x)其中Rn(x)=f(n+1）（ξ）/(n+1)!*(x-x.)^(n+1）,这里ξ在x和x.之间,该余项称为拉格朗日型的余项.　 证明泰勒公式在x=a处展开为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2!)f''(a)(x-a)^2+……+(1/n!)f(n)(a)(x-a)^n+……设幂级数为f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……①令x=a则a0=f(a)将①式两边求一阶导数,得f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……②令x=a,得a1=f'(a)对②两边求导,得f"(x)=2!a2+a3(x-a)+……令x=a,得a2=f''(a)/2!继续下去可得an=f(n)(a)/n!所以f(x)在x=a处的泰勒公式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2!](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n!](a)(x-a)^n+……应用：用泰勒公式可把f(x)展开成幂级数,从而可以进行近似计算,也可以计算极限值,等等.另外,一阶泰勒公式就是拉格朗日微分中值定理f(b)=f(a)+f(ε)(b-a),ε介于a与b之间. 　泰勒公式求各种三角函数,如sin,cosx,tanx,cotx　展开三角函数y=sinx和y=cosx. 　　根据导数表得：f(x)=sinx,f'(x)=cosx,f''(x)=-sinx,f'''(x)=-cosx,f⑷（x)=sinx…… 　　于是得出了周期规律.分别算出f(0)=0,f'(0)=1,f''(x)=0,f'''(0)=-1,f⑷=0…… 　　最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了.） 　　类似地,可以展开y=cosx.
给你结论吧sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+…….(-∞
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谁能告诉我泰勒公式的推导?
函数f(x)在点x0某邻域内具有直到n+1阶导数,我们希望找到一个n次多项式Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+…+an(x-x0)^n,使这个多项式与f(x)在x0处具有相同的函数值及相同的直到n阶的导数值,容易确定这个多项式就是 Pn(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+[f''(x0)/2!](x-x0)^2+…+ +[f(x0)/n!](x-x0)^n 这个多项式就称为f(x)在x0处的n阶泰勒公式.确定Pn(x)一点也不困难,困难的是证明泰勒公式的余项 Rn(x)=f(x)-Pn(x)=[f(ξ)/(n+1)!](x-x0)^(n+1)（ξ在x与x0之间）,这需要用n+1次柯西中值定理,教科书上都有详细的证明,可参阅同济高等数学第五版上册p138、p139页.
泰勒公式在x=a处展开为 f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2!)f''(a)(x-a)^2+……+(1/n!)f(n)(a)(x-a)^n+…… 设幂级数为f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……① 令x=a则a0=f(a) 将①式两边求一阶导数，得 f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……② ...
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泰勒公式证明不等式
请问老师下，对于泰勒公式证明不等式的这类问题，杨超老说所说的第三部具有展开式进行放缩这一步。不太明白，如何才叫放缩呢?麻烦老师能否以这两例题教我下？
提问时间： 12:44:15提问者：
同学你好，1、已知中出现了二阶导数大于0，但函数f(x)是抽象函数，想办法使用这个条件，就想到泰勒公式的展开式，将f(x)在x=0处展开。根据已知能得到f(0)和f(0)的导数。最后得到结论。这类题目使用泰勒公式，就是由已知中存在几阶导数的条件，但函数又是抽象的，就要想到泰勒公式了。2、本题中f(x)依然是抽象函数，已知中出现二阶导数，要证明的是一阶导数的不等式，一般就要想到用泰勒公式翟凯到二阶导数，这样函数，一阶导数和二阶导数就都出现了，帮助我们找到解题突破口，迅速得到结论。这里的放缩就是，将函数通过泰勒公式展开，使得展开式中出现已知和结论中的最高阶导数即可。 欢迎登陆新东方在线欢迎到新东方在线论坛感谢您对新东方在线的支持和信任如您的问题未能得到妥善解决或有其他问题请访问：或联系售后客服：400 676 2300
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