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一、变量间的关系 1.确定性 关系 变量与变量之间的函数关系反映客观事物之间存在着严格的依存关系。在这种关系中，当一个或几个变量取值一定时，另一个变量有确定的值与之相对应，并且这种关系可以用一个确定的数学表达式反映出来。
在三个变量中，任意两个都可以确定第三个。
一般把作为影响因素的变量称为自变量，把发生对应变化的变量称为因变量。 2.相关关系
相关关系反映的是客观事物之间的非严格、不确定的线性依存关系。这种线性依存关系有两个显著的特点：
①客观事物之间在数量上确实存在一定的内在联系。表现在一个变量发生数量上的变化，要影响另一个变量也相应地发生数量上的变化。
②客观事物之间的数量依存关系不是确定的，具有一定的随机性。表现在当一个或几个相互联系的变量取一定数值时，与之对应的另一个变量可以取若干个不同的数值。这种关系虽然不确定，但因变量总是遵循一定规律围绕这些数值的平均数上下波动 （一）回归分析的提出 回归分析起源于生物学研究，是由英国生物学家兼统计学家高尔登（Francis Galton ）在19世纪末叶研究遗传学特性时首先提出来的。
高尔登在1889年发表的著作《自然的遗传》中，提出了回归分析方法以后，很快就应用到经济领域中来，而且这一名词也一直为生物学和统计学所沿用。
回归的现代涵义与过去大不相同。一般说来，回归是研究因变量随自变量变化的关系形式的分析方法。其目的在于根据已知自变量来估计和预测因变量的总平均值。
（三）回归分析 与 相关分析 1、定义理解：
相关分析是以相关关系为对象，研究两个或两个以上随机变量之间线性依存关系的紧密程度。通常用相关系数表示，多元相关时用复相关系数表示。
回归分析是对具有相关关系的变量之间的数量变化规律进行测定，研究某一随机变量（因变量）与其他一个或几个普通变量（自变量）之间的数量变动关系，并据此对因变量进行估计和预测的分析方法。
2、回归分析与相关分析的关系 它们是研究客观事物之间相互依存关系的两个不可分割的方面。
在实际工作中，一般先进行相关分析，由相关系数的大小决定是否需要进行回归分析。在相关分析的基础上建立回归模型，以便进行推算、预测，同时相关系数还是检验回归分析效果的标准。
相关分析需要回归分析来表明客观事物数量关系的具体形式，而回归分析则应建立在相关分析的基础上。
（四）在回归分析中应当注意的问题 1．重视数据的收集和甄别
在收集数据的过程中可能会遇到以下困难： （1）一些变量无法直接观测。 （2）数据缺失或出现异常数据。 （3）数据量不够。 （4）数据不准确、不一致、有矛盾。 2. 合理确定数据的单位
在建立回归方程时，如果不同变量的单位选取不适当，导致模型中各变量的数量级差异悬殊，往往会给建模和模型解释带来诸多不便。比如模型中有的变量用小数位表示，有的变量用百位或千位数表示，可能会因舍入误差使模型计算的准确性受到影响。因此，适当选取变量的单位，使模型中各变量的数量级大体一致是一种明智的做法。
从各种经济现象之间的相关关系出发，通过对与预测对象有联系的现象变动趋势的分析，推算预测对象未来状态数量表现的一种预测法。
（一）根据预测的目的，选择确定自变量和 因变量
(二)收集历史统计资料,分析.计算并建立回归预测模型 （三）进行相关分析 （四）检验回归预测模型,计算预测误差 （五）计算并确定预测值
回归模型 定义：
回归分析是对具有相关关系的变量之间的数量变化规律进行测定，研究某一随机变量（因变量）与其他一个或几个普通变量（自变量）之间的数量变动关系，并据此对因变量进行估计和预测的分析方法。由回归分析求出的关系式，称为回归模型　
一元线性回归 回归函数 若Y的数学期望E(Y)存在,则其取值随x的取值而定，它是x的函数，记为u(x) ,称其为Y关于x的回归函数。 利用样本来估计u(x)的问题称为求Y关于x的回归问题，若u(x)为线性函数，此时称为一元线性回归问题 举例：血压与年龄 下表给出了30个人的血压、年龄等信息，作回归分析
问题：60岁比50岁的人血压高多少呢？
30个人的血压与年龄 序号 血压 年龄 序号 血压 年龄 序号 血压 年龄 1 144 39 11 162 64 21 136 36 2 215 47 12 150 56 22 142 50 3 138 45 13 140 59 23 120 39 4 145 47 14 110 34 24 120 21 5 162 65 15 128 42 25 160 44 6 142 46 16 130 48 26 158 53 7 170 67
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2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
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2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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基于排队系统的医院病床分配模拟问题
摘
要
本文研究的是关于眼科医院病床分配的评价与优化问题，主要采用了层次分析法，排队论，单目标优化，区间估计等模型，使用计算机模拟等方法，对医院现有床位安排方案进行了评价，并通过优化模型，提出了改进方案。
对于问题一，本文首先从实际情况出发，结合题目要求，在充分考虑院方和患者双方利益的前提下，确定了床位分配方案的评价指标。其次采用层次分析法确定各项因素权重。本文在建立层次结构时，在常规三个层次的基础上增加了子准则层，从而有效避免了单一层次分析法指标权重值偏离的现象。在此基础上，本文建立了排队模型，并通过计算机模拟的方法确定了各种评价指标的评价值，进而确定医院现行方案的综合评价指数仅为0.68。
通过对所有评价指标进行模拟分析，本文发现平均入院等待时间为11.9天，并依次确定了入院等待时间过长是制约该方案优越性的主要问题，并提出改进方案。
对于问题二，本文以方案综合评价指数最大为目标函数。首先在第一问的基础上，通过分析合理确定了星期第种疾病的优先等级，引入函数，表示各种疾病优先等级到综合评价指数的映射，即，并以其为目标函数，确定了两种决策方式，并分别通过计算机模拟，确定了其最优解，在同问题一中方案对比，选择最优方案。将入院等待时间缩短到了8.2天。综合评价指数提高至0.75，较之原有方案改进明显。
问题三，首先对不同类型疾病入院等待时间进行了统计分析，采用单个总体的区间估计，确定了其置信度在99%的置信区间，在已知病人就诊时间情况下，很容易得出其入住时间区间。再利用仿真计算每种疾病的平均入院等待时间，发现所有仿真结果全部落入置信区间，可见模型精度较高。
问题四，在问题二的模型上，进行修改，通过调整各种病的优先等级，使得函数满足了周末不安排手术的题目条件。再利用模拟方法，对床位安排情况进行仿真。
问题五，由于各类病人所占病床数固定，本文将整个病床安排可看成5个各自独立的多服务台的排队模型，可由公式直接得到各类病人的系统逗留时间。以各类病人占用病床的比例为决策变量，以平均逗留时间最短为目标函数，建立单目标优化模型。
本文最后在模型推广中，建立了静态优化模型，提出了通过改变医院设施以达到病床合理分配的合理模型。
本文采用模型合理，方法得当，提出的优先级策略不仅化简了模型求解的难度，而且保证了模型精度。尤其是在问题一中
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2012年江西省研究生数学建模竞赛B题 数学建模竞赛阅卷中的问题
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数学建模竞赛阅卷中的问题
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《数学建模论文-后勤集团运营绩效分析》.doc 25页
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日期：2010 年8 月 18 日
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后勤集团运营绩效分析
摘要：本文就高校后勤集团的运营指标，用主成分综合评价模型、TOPSIS法综合评价模型，对各运营指标进行了综合分析；用一元线性回归模型对各指标未来三年的走势进行了预测分析；用一级模糊综合评判、数据包络分析法，综合分析了客户满意指标。采用多元二项式回归，对各运营指标之间的动态关系进行了分析，最后针对分析的结果，提出了合理的政策和建议。
问题一 针对经济效益指标和发展能力指标建立主成分综合评价模型，先对数据进行标准化处理，针对经济效益指标选取一个主成分，发展能力指标选取两个主成分，分别构建出主成分综合评价模型，再用Matlab编写程序结合SPSS进行数据分析，得出后勤集团在这两项指标下表现优劣情况的综合排名。结果显示，经济效益逐年（）增长，其中2000表现最差2009表现最优；发展能力逐年提升，2000最弱2009最强。针对内部运营指标建立TOPSIS法综合评价模型，构造了评价问题的正理想解和负理想解，对内部运营指标进行了综合评价，得出在该指标下表现优劣情况的综合排名。结果显示，内部运营情况基本呈逐年递增的趋势，2000年表现最劣，2008年表现最佳。做散点图，用一元线性回归模型分别对后勤集团各项指标未来三年的表现情况进行预测分析。
问题二 由于客户满意指标本身存在大量模糊性的概念，采用一级模糊综合评判来对客户满意指标进行综合分析。评判结果显示，消费者对后勤服务总体“不满意”。 先合并客户满意指标中的两个表格，将其看成一个指标，再采用数据包络分析法，分析客户满意指标的走势，结果显示，客户满意度是呈逐年（）上升趋势。
问题三用多元二项式回归的命令rstool产生一个交互式画面，Matlab绘出经济效益指标、发展潜力指标以及内部运营指标的走势图，选出剩余标准差最小的模型，即纯二次模型，再根据各年份客户满意指标的走势综合分析得出其与三个指标间的动态关系。最后提出了合理的政策和建议。
关键词：主成分分析；TOPSIS法；回归分析；模糊综合评判；数据包络分析法
1 问题的提出
高校后勤集团是高等教育体制改革的产物。经济上自负盈亏，独立核算。某高校后勤集团为了研究公司运营绩效走势，详细了调查了2000年至2009年的运营指标。包括经济效益指标、发展能力指标、内部运营指标以及客户满
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61页55页20页79页34页61页34页47页67页44页数学建模论文-城市空气质量评估及预测-博泰典藏网
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数学建模论文-城市空气质量评估及预测
导读：在以上的数学模型中：，得知空气污染与季度有着很密切的关系，也分季度来计算各城市的污染程度排名，这样有利于我们全方位地判断各城市的污染程度，由于附表的所给城市的数据有些是从1月4日开始，这样才能更为准地表示一个季度或年度的空气污染程度，表1-1是我们的算法求出的各城市各季度及全年的污染程度数，污染程度城市成都杭州北京上海广州第1季度16..2597.4，从上图中我们可以很快地5
Ki??i?1IijKin i15 (i=1,2,3,4,5)
在以上的数学模型中： Ci表示一个季度的污染程度； n表示所取季度的总天数； 因为每个季度污染程度数据的平均值并不能准确反映年度的污染程度，所以用类似于求季度的污染程度的方法求来年度的污染程度。（模型二：年度模型）： n C=Ki??i?1Ii?Kni
i15(i?1,2,3,4,5)其中： Ii表示一个年度内的第i等级污染程度和； N表示所取年度内数据的总天数 4.1.4模型的求解 观察附表所给的数据集查阅相关的资料，得知空气污染与季度有着很密切的关系，因此我们在比较全年度污染程度的同时，也分季度来计算各城市的污染程度排名，这样有利于我们全方位地判断各城市的污染程度。由于附表的所给城市的数据有些是从1月4日开始，而有些从1月1日开始，所以在求得的某个等级的污染程度和，再乘以相应的权重系数后，再除以所取数据的全部天数，这样才能更为准地表示一个季度或年度的空气污染程度。表1-1是我们的算法求出的各城市各季度及全年的污染程度数。 污染程度 城市 成都 杭州 北京 上海 广州 第1季度 16.083 7.634 11.259 7.48 7.216 第2季度 10.265 7.66 11.85 9.02 6.467 第3季度 7.926 9.78 16.13 5.695 6.267 第4季度 8.68 11.62 11.68 5.002 8.336 总体 10.36 9.01 12.82 6.898 6.899 拉萨 乌鲁木齐 郑州 武汉 西安 污染程度 城市 第1季度 2.36 28.41 12.04 9.293 14.69 第2季度 2.67 11.53 9.94 7.41 14.77 第3季度 7.346 8.826 13.78 11.9 9.8 第4季度 7.053 11.86 12.405 13.22 12.32 总体 4.81 13.113 11.976 10.244 12.7
7 从上图中我们可以很快地求得各城市的各季度及年度污染程度从低到高的的排名，如表1-2所示： 排名 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 综合排名 1 拉萨 拉萨 上海 上海 拉萨 2 广州 广州 广州 拉萨 上海 3 上海 武汉 拉萨 广州 广州 4 杭州 杭州 成都 成都 杭州 5 武汉 上海 乌鲁木齐 杭州 武汉 6 北京 郑州 杭州 北京 成都 7 郑州 成都 西安 乌鲁木齐 郑州 8 西安 乌鲁木齐 武汉 西安 西安 9 成都 北京 郑州 郑州 北京 10 乌鲁木齐 西安 北京 武汉 乌鲁木齐 表1-2 4.1.5模型的评价与推广 4.1.5.1模型的不足 由于我们对各城市的污染排名模型是基于附表所给API指数而建立的，而API指数的算法只取了三种污染物中污染程度最大的一项，若其它两者的污染程度也接近于最大的那一项，则该天的API指数便不能准确地反映真实污染程度。尤其是我们可以发现，大多数情况下，首要污染物是可吸入颗粒物，从而在以二氧化硫或二氧化氮为首要污染物时，可吸入固体颗粒物任然存在，确切说是误差相对比较大，因为可吸入固体颗粒物主要是靠自身重力作用沉降而净化，所需时间比较长，在短时间（几天）内变化不大，从而在二氧化硫、二氧化氮为首要污染物出现比较多的城市中，此评价模型得出的结果与实际污染程度可能会稍有差异。 4.1.5.2结果的分析与检验 考虑季节的影响和地域不同。我们分别从不同城市的不同季节和年度的排名分析. 通过函数的计算与统计（由于城市11月份及12月份数据不全，所以在计算时将它们忽略）可以清楚得出10个城市综合空气质量污染程度排序（一级天数排名见【附录】），结果如下： （1）拉萨 （2）上海 （3）广州 （4）杭州 （5）武汉 （6）成都 （7）郑州 （8）西安 （9）北京 （10）乌鲁木齐 这个模型可以从另一个侧面反映了所给的原始数据所代表的实际情况，适用于对某个城市的中长期评价，具有较高的科学性。结论显示乌鲁木齐综合的空气污染程度最严重，北京次之，拉萨最好。但对于不同季节略有差异。乌鲁木齐地处新疆，能源丰富，但周边绿化程度低，风速对环境影响大，沙尘天气多。查阅资料得知：乌鲁木齐各月均有出现沙尘天气的可能,所以综合排名很低，特别集中在春季3至5月份，与 8 我们所得的数据恰好吻合，也体现了所用方法的合理性。 对于北京从实际出发，我们可以找到一点答案。北京是中国的首都，是人口积聚的中心。人口密集，交通拥挤，工业生产规模越来越大，能留物流越来越集中的综合性工业城市，地处北方，铁路交通枢纽，同时冬季取暖，主要能源使用煤炭，煤炭排放的污染物占燃烧的大部分，对空气污染较严重，同时能源材料利用率较低。经济正处于飞速发展阶段使得空气污染日剧加重。政府应该采取一些措施来治理空气污染。
拉萨最好，主要因为人口较少，工业体系不完备，资源较少，绿化程度高。可以得出这个模型有正确的地方。 同时与往年权威数据作比较（来自于中国气象数据中心结果可靠），与往年名次基本接近，略有变化，且此方法所用的季度排名具有很大的优势，例如拉萨在此十个城市中的中很明显地高于其他九个城市，但拉萨在秋冬季度的排名还是低于上海。也体现了按季度排名的优越性，只按年度排名是看不出这些细微的差别的。 今年的上海与广州的污染程度相差无几（上海略低于于广州），而查得的数据显示去年广州的空气污染程度低于上海，此间可能因上海要召开世博会，采取了多方面的综合治理和临时措施，空气中的主要污染物浓度均出现较大幅度的下降，上海地区的环境空气质量有了明显的好转。此外我们所采用的方法淡化了空气质量为优级别的污染程度权重，加大了污染程度大的权重，而城市“城考”及“创模”强调的就是空气质量达优的天数，所以我们的方法求得的各城市的排名与网上排名稍有差异。“城考”及“创模”主要的目的在于管理城市空气质量，但较为粗略，我们的方法则较为精确地反映了各城市的污染程度。由于我们模型的建立时在秋冬两季各缺了一个月的数据，所以在秋冬两季的污染程度可能会有些偏差与不足。 4.2 成都市11月的空气质量预测模型 4.2.1基本假设 1）成都周边风速较小，扩散较慢，忽略周围城市污染物的扩散对成都市的影响； 2）在预测月份中，气候未出现大的异常； 3）与相似年份的数据基本吻合，未出现大规模变化，污染潜势和气象参数基本一样； 4）相似年份的数据来源可靠，具有使用价值； 5)
成都市的车辆未出现大幅增加或减少，大范围工厂兴建和拆毁； 6）空气质量的原始数据并不一定完全相同，但为了简化问题，计算所得出来的数据只要是同一级别，如35和47一样，无区别； 7）预测成都11月份的空气质量时，忽略特殊年份的特殊数据，假设其对结果无影响； 8）成都在相似年份并没有出现中度、重度污染，故忽略这两种情况，得出数据无效。 4.2.2模型的建立 4.2.2.1由于空气质量的高低一般和年份、临近月份存在关系，而且会因为季节的不同而不同，比如等年份的空气质量大体相同但也存在联系，再比如有些地区的冬季和春季的空气质量也存在差异。研究某地区未来空气质量可以借助以前已有的数据，利用最小二乘法对数据进行拟合，最后用Matlab软件求解拟合曲线方程。其次在分析数据时为了避免数据太少对预测结果造成偶然误差，在预测某一月的空气质量时可以将其相似月份一起分析。在分析往年数据时发现规律，有如下数据统计：
9 编号 1 2 3 4 5 污染指数平均数 78.1
Ⅰ 10 10 12 14 15 Ⅱ 67 69 69 72 65 Ⅲ1 13 11 10 5 9 Ⅲ2 1 1 0 0 2
其中：第一列编号1，2,3,4,5分别代表，，2009；
第二列数值表示九月十月十一月污染指数的平均值；第三列数值
表示空气质量优的天数；第三列数值表示空气质量良的天数；第
四列表示空气轻微污染的天数；第五列数值表示空气轻度污染的
污染指数平均数
78.0 76.0系列1 74.0 72.0
70.0 68.0 0123456 从这些散点图可以看出除了第四个点的分布比较特殊外，其它四个点的分布还是比较有规律的，可以看出这四个点基本呈线性分布。一等级出现次数系列1 从一等级出现次数我们可以看出这些散点图除第一个点之外，其余四点的分布还是很有规律的，这四个点呈抛物线态分布。
10 二等级出现次数456系列1
从二等级出现次数的散点图来看，除了第四个点之外，其它四点的分布还是很有规律的，这四点呈开口向下的抛物线分布。
三1等级出现次数
14 12 10 8系列1 6 4 2 0 0123456 从三1等级出现次数的散点图可以看出除了第四个点外，其余四点的分布有规律，基本呈开口向上的抛物线。 再来单独考虑空气质量等级为三2的情况，由于成都以往的数据中这三个月之中出现三2等级的次数很少，所以可以先不考虑。 4.2.3.2曲线拟合的最小二乘法 方法介绍
多项式数据拟合【3】 由于预测成都十一月份的空气质量是借助于以往的数据，分析反映空气质量的各种指标的分布规律，又因为往年数据有限，所以给预测带来了困难，这不仅是发现其规律有困难，还会使预测结果产生很大的误差，一旦方法选择不好，误差就可能严重偏离实际。为此，类如插值法求解方程，待定系数法求解方程等方法就不适和本题，插值法对外插的值收敛性要求比较高，而且外插的值误差也较大；待定系数法必须先发现公式然后求解，显然不符合本模型。所以对于预测成都十一月份的空气质量还是选用最小二乘法，有两个优点，其一，最小二乘法求出的结果误差小，可以最大程度上拟合这些点，其二，最小二乘法的求解可以利用Matlab等软件求解。下面为最小二乘法的原理： 首先可以在Matlab或其它画图软件中描出散点图，观察散点图的分布特征选择合适的多项式，如设用一个m次多项式
11 包含总结汇报、外语学习、资格考试、农林牧渔、表格模板、初中教育、经管营销、教学研究以及数学建模论文-城市空气质量评估及预测等内容。本文共5页
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