第十节导数的概念及其运算；1．导数的概念及几何意义(1)了解导数概念的实际；(1)能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，；＝x2，y＝x3，yx的导数．；(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运；求简单函数的导数．；(3)能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b；知识点一导数的概念及几何意义导数的概念；(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：
第十节 导数的概念及其运算
1．导数的概念及几何意义 (1)了解导数概念的实际背景． (2)理解导数的几何意义． 2．导数的运算
(1)能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝，
＝x2，y＝x3，yx的导数．
(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则
求简单函数的导数．
(3)能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．
知识点一 导数的概念及几何意义 导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数： 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 lim→
f?x0＋Δx?－f?x0?Δy
＝lim为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，
Δx0Δx→0Δx
f′(x0)＝lim→
f?x0＋Δx?－f?x0?Δy
limΔx0ΔxΔx→0
(2)导数的几何意义：
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点，y0率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y＝f′(x
(3)函数f(x)的导函数： 称函数f′(x)＝lim→
f?x＋Δx?－f?x?
f(x)的导函数．
1．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
[自测练习]
1．(2015?陕西一检)已知直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3lnx的一条切线，则m的值为(
解析：因为直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3lnx的切线，所以令y′＝2x－＝－1，得x
＝1，x＝－舍)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y＝－x＋m上，所以m＝2，故选B.
2．(2015?洛阳期末)函数f(x)＝exsinx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为(
解析：因为f′(x)＝exsinx＋excosx，所以f′(0)＝1，即曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切π
线的斜率为1，所以在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为，故选C.
知识点二 导数的运算 1．基本初等函数的导数公式
(sinx)′＝(cosx)，(ax)′＝x(ex)′＝x，(logax)，(lnx)′
2．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝(2)[f(x)?g(x)]′＝(3)?
f?x??f′?x?g?x?－f?x?g′?x?
′＝(g(x)≠0)． ?g?x??[g?x?]3．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(xn)′＝nxn
∈Q，(cosx)′＝－sinx.
2．注意公式不要用混，如(ax)′＝axln a，而不是(ax)′＝xax1.
3．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
[自测练习]
3．下列求导运算正确的是(
) 11x＋?′＝1＋A.??x?x1B．(log2x)
xln2C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cosx)′＝－2sinx
x＋?′＝x′＋??′＝1－；(3x)′＝3xln3；(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′解析：??x??x?x＝2xcosx－x2sinx.
4．若函数f(x)＝2x＋lnx且f′(a)＝0，则2aln2a＝(
) A．1 C．－ln2
B．－1 D．ln2
解析：f ′(x)＝2xln2＋，由f′(a)＝2aln2＋＝0，得2aln2a?2a?ln2＝－1，
xaa即2aln2a＝－1.
考点一 导数的运算|
1．(2015?济宁模拟)已知f(x)＝x(2014＋lnx)，f′(x0)＝2015，则x0＝(
) A．e2 C．ln2
解析：由题意可知f′(x)＝2014＋lnx＋x＝2015＋lnx．由f′(x0)＝2015，得lnx0＝0，
x解得x0＝1.
2．若函数f(x)＝lnx－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝
解析：∵f′(x)＝－2f′(－1)x＋3，
x∴f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，
解得f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：8
3．已知f1(x)＝sinx＋cosx，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，?，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，π??π?＋?＋f2016?π?＝________. n≥2)，则f1?＋f2
解析：f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx， f3(x)＝(cosx－sinx)′＝－sinx－cosx， f4(x)＝－cosx＋sinx，f5(x)＝sinx＋cosx， 以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)， 又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0， π??π?＋?＋f2016?π? ∴f1?＋f2
?π??π??π??π??＝504?f12＋f22＋f32＋f42＝0. ??????????
求导运算应遵循的两个原则
(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．
(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等式等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．
考点二 导数的几何意义|
导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题中前几问，难度较低．归纳起来常见的命题探究角度有：
1．求切线方程问题． 2．确定切点坐标问题． 3．已知切线问题求参数． 4．切线的综合应用． 探究一 求切线方程问题
lnx－2x1．(2015?云南一检)函数f(x)＝的图象在点(1，－2)处的切线方程为(
xA．2x－y－4＝0
B．2x＋y＝0
C．x－y－3＝0 D．x＋y＋1＝0
解析：f′(x)＝，则f′(1)＝1，故该切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.
探究二 确定切点坐标问题
2．(2015?洛阳期末)已知直线m：x＋2y－3＝0，函数y＝3x＋cosx的图象与直线l相切于P点，若l⊥m，则P点的坐标可能是(
π3π－ A.?2?23ππC.??22
B.??22? 3ππ－ D.?2?2
解析：因为直线m的斜率为－，l⊥m，所以直线l的斜率为2.因为函数y＝3x＋cosx
2的图象与直线l相切于点P，设P(a，b)，则b＝3a＋cosa且y′|x＝a＝3－sina＝2，所以sinaπ3π
＝1，解得a＝＋2kπ(k∈Z)，所以b＝＋6kπ(k∈Z)，
＋2kπ6kπ?(k∈Z)， 所以P?2?2?π3π?
当k＝0时，P??22?，故选B. 答案：B
探究三 已知切线求参数范围
3．(2015?河北五校联考)若曲线C1：y＝ax2(a&0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则a的取值范围为(
，＋∞? A.??8?e
，＋∞? C.??4?
0， B.??8e0， D.??42
解析：结合函数y＝ax2(a&0)和y＝ex的图象可知，要使曲线C1：y＝ax2(a&0)与曲线C2：exex
y＝e存在公共切线，只要ax＝e在(0，＋∞)上有解，从而a＝令h(x)＝x&0)，则h′(x)
ex?x2－ex?2x?x－2?exe2e2
＝h′(x)＝0，得x＝2，易知h(x)min＝h(2)＝，所以a.
探究四 切线的综合应用
4．(2015?重庆一诊)若点P是函数f(x)＝x2－lnx图象上的任意一点，则点P到直线x－y－2＝0的最小距离为(
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已知函数其中a&0.（I）求函数f(x)的单调区间；（II）若函数f（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（III）当a=1时，设函数f（x）在区间[t,t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-题库-e学大
【解答题】已知函数其中a&0.（I）求函数f(x)的单调区间；（II）若函数f（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（III）当a=1时，设函数f（x）在区间[t,t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3，-1]上的最小值。【考点定位】本小题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、函数的零点，函数的最值等基础知识.考查函数思想、分类讨论思想.考查综合分析和解决问题的能力.（I）单调递增区间是，；单调递减区间是&&&（2）（3）答案解析相关微课程上一题：下一题：发现相似题
学生端下载科目：高中数学
题型：单选题
定义一种运算：g⊙h=，已知函数f（x）=2x⊙1，那么函数y=f（x-1）的大致图象是A.B.C.D.
科目：高中数学
来源：2011年广东省中山市高考数学三模试卷（文科）（解析版）
题型：选择题
定义一种运算：g⊙h=，已知函数f（x）=2x⊙1，那么函数y=f（x-1）的大致图象是（ ）A．B．C．D．
科目：高中数学
来源：2011年高三数学单元检测：函数（4）（解析版）
题型：选择题
定义一种运算：g⊙h=，已知函数f（x）=2x⊙1，那么函数y=f（x-1）的大致图象是（ ）A．B．C．D．
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