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《高等数学A(二)》课堂练习解答1
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求下列函数的最大值和最小值.高数题,（1） f（x）=（2x^3）-（6x^2）-18x-7,x∈[1,4]；（3） y=√（5-4x）,x∈[-1,1]；
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1）f'(x)=6x^2-12x-18=6(x^2-2x-3)=6(x-3)(x+1)=0,得极值点x=3,-1,只有点x=3在区间[1,4]内f(3)=54-54-54-7=-61f(1)=2-6-18-7=-29f(4)=128-96-72-7=-48比较以上三个值,得：最大值为f(1)=-29,最小值为f(3)=-612)y'=-2/√(5-4x)
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(本小题满分14分.第1小题6分.第2小题8分) 已知正数..满足. (1) 求证:, (2) 求的最大值. 解:(1) . 3分 ∵且不能同时成立. 5分 ∴. 6分 (2)∵ 10分 当且仅当时.等号取得. 12分 ∴当且仅当时.的最大值为. 14分 [说明]如学生先解出正确.也算对. 【】
题目列表(包括答案和解析)
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（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数，其中常数a & 0．(1) 当a = 4时，证明函数f(x)在上是减函数；(2) 求函数f(x)的最小值．&
（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数，x∈R，且f(x)的最大值为1．(1) 求m的值，并求f(x)的单调递增区间；(2) 在△ABC中，角A、B、C的对边a、b、c，若，且，试判断△ABC的形状．&
（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）野营活动中，学生在平地上用三根斜杆搭建一个正三棱锥形的三脚支架（如图3）进行野炊训练. 已知，、两点间距离为.（1）求斜杆与地面所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）将炊事锅看作一个点，用吊绳将炊事锅吊起烧水（锅的大小忽略不计），若使炊事锅到地面及各条斜杆的距离都不小于30，试问吊绳长的取值范围.&&&&&&&&&&&&&
&（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知向量，其中且，（1）当为何值时，；（2）解关于x的不等式.&&
（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数，其中常数a & 0．(1) 当a = 4时，证明函数f(x)在上是减函数；(2) 求函数f(x)的最小值．
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第2课时函数的最大值、最小值函数的最大值和最小值1.最大值对于定义域为I的函数f(x)，条件：f(x)≤Mf(x0)=M结论：M是定义域为I的函数f(x)的最大值.几何意义：函数y=f(x)图象上最___点的_______.思考：函数f(x)=-x2≤1总成立吗？f(x)的最大值是1吗?提示:f(x)=-x2≤1总成立，但是不存在x0使f(x0)=1，所以f(x)的最大值不是1，而是0.高纵坐标2.最小值对于定义域为I的函数f(x)，条件：结论：M是函数f(x)在I上的最小值.几何意义：函数y=f(x)图象上最___点的_______.f(x)≥Mf(x0)=M低纵坐标判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)=x的最小值是-∞.()(2)函数f(x)=-x2在［1,3］上的最小值是-1.()(3)函数f(x)=2x在区间［－1,3)上的最小值是-2，无最大值.()提示：(1)错误.函数f(x)=x在(－∞,+∞)上无最大值和最小值.(2)错误.当x=3时函数f(x)=-x2在［1,3］上取得最小值-9.(3)正确.由于函数f(x)=2x在区间［－1,3)上是增函数，故当x=-1时函数取得最小值-2，函数无最大值.答案：(1)×(2)×(3)√【知识点拨】1.最大值、最小值定义的理解(1)最大(小)值定义中具备的两个条件①对于定义域内全部元素,都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立;②M首先是一个函数值,它是值域的一个元素,如f(x)=-x2的最大值是0,有f(0)=0,注意定义中“存在”一词的理解.(2)两条件缺一不可,若只有前者,M不是最大(小)值,如f(x)=-x2≤1总成立,但1不是最大值,更不能只有后者,那样就丢掉了最大值的核心了.2.求最大值、最小值时的三个关注点(1)利用图象写出最值时要写最高(低)点的纵坐标,而不是横坐标.(2)单调性法求最值勿忘求定义域.(3)单调性法求最值,尤其是闭区间上的最值,不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误,求解时一定要注意.3.辨析函数的最值和值域(1)函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整个定义域.(2)函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在.(3)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素.例如，函数f(x)=-x2对任意的x∈R，都有f(x)≤1,但是f(x)的最大值不是1，因为1不在f(x)的值域内.类型一图象法求函数最值(值域)【典型例题】1.函数y=f(x)，x∈［－4,7］的图象如图，则其最大值、最小值为()A.3，2B.3，-2C.3，0D.2，-22.写出函数f(x)=|x+1|+|2－x|，x∈(－∞,3］的单调区间和最值.【解题探究】1.利用图象法求函数的最值时应写最高(低)点的纵坐标,还是横坐标？2.题2中求函数的单调区间与最值时应按照怎样的思路求解？探究提示：1.利用图象写出最值时要写最高(低)点的纵坐标,而不是横坐标.2.应先作图象，找出单调区间，最后确定最值.【解析】1.选B.观察图象知，图象的最高点(3，3)，最低点(-1.5，-2)，所以其最大值、最小值分别为3，-2.2.其图象如下：由图象得单调递减区间为(-∞,-1］，单调递增区间为［2,3］,有最小值3，无最大值.【互动探究】把题2中的问题改为求f(x)≥5的x的取值范围.【解析】结合题2图象，令g(x)=5,则x的范围为x≤-2或x=3.【拓展提升】利用图象法求函数最值(1)利用函数图象求函数最值是求函数最值的常用方法,对图象易作出的函数常用.(2)图象法求最值的一般步骤:类型二单调性法求函数的最值(值域)【典型例题】1.已知函数f(x)=x2+2x+a(x∈［0,2］)有最小值-2，则f(x)的最大值为()A.4B.6C.1D.22.函数f(x)=(x>0).(1)求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数.(2)若函数f(x)的定义域与值域都是［2］，求a的值.【解题探究】1.二次函数在闭区间内求最值的关键是什么?2.题2(1)证明f(x)的单调性的一般步骤是什么？它对解决(2)是否有作用？探究提示：1.求二次函数f(x)在某区间［m,n］上的最值的关键是判断函数在［m,n］内的单调性.2.证明f(x)单调性的步骤为取值→作差变形→定号→判断(结论)，可以利用其单调性解决(2)中的值域问题，进而求出a的值.【解析】1.选B.f(x)=x2+2x+a(x∈［0,2］)为增函数，所以最小值为f(0)=a=－2，最大值为f(2)=8+a=6.2.(1)任取x1，x2∈(0,+∞)，且x10，所以f(x)=x∈［2,5］是减函数，f(5)≤f(x)≤f(2)，故f(x)的最大值为f(2)=2，最小值为f(5)=类型三函数最值的应用【典型例题】1.绿园商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为______元/瓶.2.一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面m，铅球落地点距刚出手时相应地面上的点10m，铅球运动中最高点离地面3m，如图：已知铅球走过的路线是抛物线，求该抛物线表示的函数的解析式.【解题探究】1.解实际应用问题时需要考虑定义域吗？2.二次函数解析式有哪几种设法？探究提示：1.需要考虑定义域,因为解应用题,就是确定函数,求函数最值的问题,应时刻牢记函数的定义域,不仅使函数式有意义，而且还要与实际问题相符合.2.(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0).已知抛物线上任意三点时,通常设函数解析式为一般式,然后列出三元一次方程组求解.(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0).已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程时,通常设函数解析式为顶点式.(3)两根式:y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0).已知二次函数与x轴的两个交点或已知与二次函数对应的一元二次方程的两个实根时,经常采用两根式.【解析】1.设销售价每瓶定为x元，利润为y元，则y=(x－3)(400+×40)=80(x－3)(9－x)=-80(x-6)2+720(x≥3)，所以x=6时，y取最大值.答案：62.由题意，抛物线的最大值为3，故设抛物线方程为y=a(x－h)2+3(a1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间［t,t+1］上为增函数，所以最小值为f(t)=t2-2t+2.【拓展提升】求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间［m,n］上的最值的类型(1)若对称轴x=在区间［m,n］内，则最小值为f()，最大值为f(m),f(n)中较大者(或区间端点m,n中与x=距离较远的一个对应的函数值为最大值).(2)若对称轴x=n,则f(x)在区间［m,n］上是减函数，最大值为f(m),最小值为f(n).【规范解答】利用函数的单调性求最值问题【规范解答】设x1,x2为［1,2］上的任意两个实数,且x10,f(x1)>f(x2)，∴函数f(x)=x+在［1,2］上为减函数.……………10分所以当x=1时取最大值，最大值f(1)=10,当x=2时取最小值，最小值f(2)=从而函数的最大值是f(1)=10,最小值是f(2)=③.……12分【失分警示】【防范措施】1.对单调性定义的把握在函数的定义域中任给x1f(x2)的关系，从而得出是增函数还是减函数.如本例中f(x1)-f(x2)>0,得出f(x1)>f(x2),从而判定为减函数.2.单调性与最值的关系利用函数的单调性可以求出函数的最值，这是求最值常用的方法之一，在求函数的最值时要时刻牢记.如本例中证明f(x)在［1,2］上为减函数后，可直接求出其对应的最大值与最小值.【类题试解】已知函数f(x)=-x2+6x+9在区间［a,b］(a0时，f(x)=在［3,5］上的函数值为正，a=0时，f(x)=0无最值，所以a1,∴2x1x2-1>0,∴f(x1)-f(x2)<0.即f(x1)<f(x2),所以f(x)在区间［1,+∞)上单调递增.(2)从而当x=1时,f(x)有最小值
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（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知函数
上有最大值
的值；（2）若不等式
上有解，求实数
的取值范围；（3）若
有三个不同的实数解，求实数
的取值范围．
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，……（1分）因为
上是增函数，故
．（3分）（2）由已知可得
，……（1分）所以
，…………（1分）化为
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