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洛必达法则求极限lim(x趋近0+)lntan7x/lntan3x用洛必达法则,
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此为无穷大比无穷大型,用洛必达法则,原式=（1/tan7x *(tan7x)'）/(1/tan3x *(tan3x)')=(1/tan7x * 7/(cos7x)^2)/(1/tan3x * 3/(cos3x)^2)=(7/(sin7x*cos7x))/(3/(sin3x*cos3x)此时上下同时除以x得 原式=lim(x趋近0+)（sin3x*cos3x/3x）/（sin7x*cos7x/7x)=1
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lntan7x/lntan3x上下分别求导就成了tan3x/tan7x，上下在分别求导就成了(cos7x/cos3x)^2,这样就可以求极限lim(x趋近0+)(cos7x/cos3x)^2结果为1
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求极限limx趋近于0（sin7x /x）
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当x趋近于0时，e的1/x次方的极限
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杨帆起航2018知道合伙人
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杨帆起航2018
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1、摘要：数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题， 本文通过归纳和总结， 从不同 的方面罗列了它的几种求法.关键词：高等数学、数列极限、定义、洛比达法则、英文题目Limit methods summarizeAbstract:The method of sequence limit has been in the series a more important problems, this paper summed up from different aspects and a few of its listing is also given.Key words:Higher mathematics, sequence limit, definition, los than amounting to law,一. 引言高等数学第二章在整个高等数学的学习中都占有相当重要的地位 ， 特别是极限，原因就是后续章节本质上都是极限。一个经典的形容就是假如高等数学是棵树木的话，那么极限就是它的根，函数就是它的皮。树没有根，活不下去， 没有皮，只能枯萎，可见极限的重要性。极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法 还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代 换, 展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的 四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要 重点注意运用。泰勒公式、 洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常3 （2） e x xx =+→10) 1(lim ； e x x =+∞→) 11(l i m 说明：( 1 )不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式.（2）一定注意两个重要极限成立的条件。 一定注意两个重要极限 成立的条件。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→210) 21(lim ，e xx =+∞→3) 1(lim ；等等。 4．洛比达法则定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～) 1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成) (x g 时（0) (→x g ），仍有上面的等价关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；) 1ln(2x - ～ 2x -。 定理4 如果函数) (), (), (), (11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且) (x f ～) (1x f ，) (x g ～) (1x g ，则当)() (lim 110x g x f x x →存在时，) () (lim 0x g x f x x →也存在且等于) (x f ) () (lim 110x g x f x x →，即) () (lim 0x g x f x x →=)() (lim 110x g x f x x →。 5．洛比达法则定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数) (x f 和)(x g 满足：（1）) (x f 和) (x g 的极限都是0或都是无穷大；4 （2）) (x f 和) (x g 都可导，且) (x g 的导数不为0；（3）)() (lim x g x f ''存在（或是无穷大）； 则极限) () (lim x g x f 也一定存在，且等于)() (lim x g x f ''，即) () (l i m x g x f =) () (lim x g x f '' 。 说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“00”型或“∞∞”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。6．连续性定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果0x 是函数) (x f 的定义去间内的一点，则有) () (lim 00x f x f x x =→ 。 7．极限存在准则定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。定理8（准则2） 已知}{, }{, }{n n n z y x 为三个数列，且满足：（1） ) , 3, 2, 1(, =≤≤n z x y n n n（2） a y n n =∞→lim ，a z n n =∞→lim 则极限∞→n n x lim 一定存在，且极限值也是a ，即a x n n =∞→lim 。 二、求极限方法举例1． 利用函数的连续性（定理6）求极限5 例4 x x e x 122lim → 解：因为20=x 是函数xe x x f 12) (=的一个连续点，所以 原式=e e 42212= 。2． 利用两个重要极限求极限例5 203cos 1lim x x x -→ 解：原式=61) 2(12sin 2lim 3sin 2lim 220220=⋅=→→x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。例6 x x x 20) sin 31(lim -→ 解：原式=6sin 6sin 310sin 610]) sin 31[(lim ) sin 31(lim ---→-⋅→=-=-e x x x x x x x 。例7 n n n n ) 12(lim +-∞→ 解：原式=3331331]) 131[(lim ) 131(lim ---+∞→-⋅-+∞→=+-+=+-+e n n nn n nn n 。 注：两个重要的极限分别为 limsin x 1 2 = 1 和 lim (1 + ) x = e ，对第一个而言是 x →0 x →∞ x xX 趋近 0 时候的 sinx 与 x 比值。第2 个实际上如果 x 趋近无穷大和无穷小都有 对有对应的形式。当底数是 1 的时候要特别注意可能是用第2 个重要极限。3． 利用定理2求极限6 例8 xx x 1sin lim 20→ 解：原式=0 （定理2的结果）。4． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替). [3]设αα'~、~ββ'且lim lim ββαα'=；则：β与α是等价无穷小的充分必要条件为：0() βαα=+．常用等价无穷小：当变量0x →时，21sin ~, tan ~,arcsin ~,arctan ~, 1~,ln(1) ~,1cos ~, 2x x x x x x x x x e x x x x x -+-~,(1) 1~x x x αα+-．例1 求01cos lim arctan x x x x→-． 解 210,1cos ~,arctan ~2x x x x x →- 时， 故，原式22011lim 2x x x →== 例2 求lim cos 1x x x →+--． 解 1) 1~,1cos ~32x x x x x →+-- 时, 因此: 原式20212lim 32x x x →==-． 例3 求01lim tan x x→． 解 0, x →时11~, tan ~3x x x ，故:原式=011lim 3x x x →=．7 例4 求()201lim 2ln(1) x x e x x →-+．解 0, 1~,ln(1) ~x x e x x x →-+时, 故: 原式2201lim 22x x x →==． 例5 试确定常数a 与n ，使得当0x →时，nax 与33ln(1) x x -+为等价无穷小． 解 330ln(1) lim 1n x x x ax →-+= 而左边lim lim n n x x x x x nax nax--→→-+-=， 故 15n -=即6n = 0331lim 11662x a a a →--∴=∴=∴=-． 5. 利用洛比达法则求极限利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者∞∞型等未定式类型. 洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用. （2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式, 通项之后，就能变成（1）中形式了. （3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数, 幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.洛必达法则中还有一个定理：当x a →时，函数() f x 及() F x 都趋于0；在点a 的某去心邻域内，() f x ﹑() F x 的导数都存在且() F x 的导数不等于0；() lim ()x a f x F x →''存在，那么() () lim lim () ()x a x a f x f x F x F x →→'=' . [1] 求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法. [3] 例12 203cos 1lim x x x -→（例4） 解：原式=616sin lim 0=→x x x 。（最后一步用到了重要极限）8 例13 1cos lim 1-→x xx π 解：原式=21sin lim 1πππ-=-→xx 。 例14 30sin lim x x x x -→ 解：原式=203cos 1lim x x x -→=616sin lim 0=→x x x 。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）例15 xx x x x x sin cos sin lim 20-→ 解： 313sin lim 3) sin (coscos lim cos sin lim 202020==--=⋅-=→→→xx x x x x x x x x x x x x x x 原式 例18 ])1ln(11[lim 0x x x +-→ 解：错误解法：原式=0]11[lim 0=-→xx x 。 正确解法：。原式21) 1(2lim 211lim ) 1ln(lim ) 1ln() 1ln(lim 0000=+=-=⋅-+=+-+=→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。 例19 x x x x x cos 3sin 2lim +-∞10例21 ) 12111(lim 222n n n n n ++++++∞→解： 易见：11211122222+&++++++&+n n nn n n nn n因为 1lim 2=+∞→nn n n ，11lim2=+∞→n n n所以由准则2得：1) 12111(lim 222=++++++∞→nn n n n 。7. 直接使用求导的定义求极限当题目中告诉你0) 0(=F 时，) (x F 的导数等于0的时候，就是暗示你一定要用导数定义： （1）设函数()y f x =在点0x 的某个领域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆（点0x x ∆+仍在该领域内）时，相应的函数取得增量()()00y f x x f x ∆=∆+-；如果y ∆与x ∆之比0x ∆→时的极限存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()y f x =在点0x 处的导数，记作()0f x '，即()()()00000limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→∆+-∆'==∆∆；（2）在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等. 例36 ()()()()1f x x x e x π=---，求()'fπ.解 ()'fπ ()()()()()()=limlim 11x x f x f x x e x x e x ππππ→→-=--=---. 例37 若函数()f x 有连续二阶导数且()0=0f ，()'0=1f，()'' 0=-2f ，则 ()()20limx f x xx →-=.A:不存在 B：0 C：-1 D：-2解 ()20lim x f x x x →-=()()()' ' ' 00101lim lim 220x x f x f x f x x →→--=-()''1012f ==-. 所以，答案为D.11 例38 若() (1)(2) .....(2010) f x x x x x =++++，求(0)f '.解 0() (0)(0)limx f x f f x→-'= 0(1)(2) .....(2010) lim x x x x x x →++++= 0lim (1)(2) .....(2010) x x x x x →=++++ 2010! =.8. 求数列极限的时候可以将其转化为定积分[1]例33 已知()f x = ,在区间[]0,1上求()01lim ni ii f x λξ→=∆∑（其中将[]0,1分为n 个小区间[]1, i i x x -, 1i i i x x ξ-≤≤，λ为i x ∆中的最大值）.解 由已知得: ()()1001lim n i i i f x f x dx λξ→=∆=∑⎰dx =⎰ 4π= .（注释：由已知可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分, 求函数()f x 在区间[]0,1上的面积）.在有的极限的计算中，需要利用到如下的一些结论、概念和方法：（1）定积分中值定理：如果函数()f x 在积分区间[], a b 上连续，则在[], a b 上至少有一个点，使下列公式成立：()()()b a f x dx x b a ϕ=-⎰ ()a b ϕ≤≤；（2）设函数()f x 在区间[], a +∞上连续，取t a &，如果极限 ()limt a t f x dx →+∞⎰存在，则称此极限为函数()f x 在无穷区间[], a +∞上的反常积分，记作⎰∞+0) (dx x f ，即⎰⎰+∞→∞+=ta t a dx x f dx x f ) (lim ) (； 设()f x 在区间[], a b 上连续且()0f x ≥，求以曲线()y f x =为曲线，底为[], a b 的曲边梯形的面积A ，把这个面积A 表示为定积分：()b=a A f x dx ⎰ 的步骤是： 首先，用任意一组的点把区间[], a b 分成长度为(1,2,... ) i x i n ∆=的n 个小区间，相应地把曲12线梯形分成n 个窄曲边梯形，第i 个窄曲边梯形的面积设为i A ∆，于是有1nii A A ==∆∑；其次，计算i A ∆的近似值 ()()1i i i i i i A f x x x ϕϕ-∆≈∆≤≤；然后，求和，得A 的近似值 ()1niii A f x ϕ=≈∆∑；最后，求极限，得⎰∑=∆==→bai ni i dx x f x f A ) () (lim1ϕλ.例34 设函数()f x 连续，且()00f ≠，求极限 ()()()[]2lim. x xx x t f t dt x f x t dt→--⎰⎰. 解 ()()()000limxxx x t f t dtx f x t dt→--⎰⎰ =()()()0lim, xxxx xf t dt tf t dtx f u du→-⎰⎰⎰()()()()()0+limxx x f t dt xf x xf x f u du xf x →-+⎰⎰由洛必达得：，()()(), , ,f x t dx u x t f u du -=-⎰x其中令得()()0lim0x x xf xf xf x ϕφϕ→+再由积分中值定理得:在到之间()()001lim002x f f f f x f f ϕϕ→===++.例35 计算反常积分: 21dx x +∞-∞+⎰.解21dx x +∞-∞+⎰ =[]arctan x +∞-∞=-lim arctan lim arctan x x x x →+∞→∞-=() 22πππ--=. 9. 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限利用如下的极限运算法则来求极限： (1)如果()()lim ,lim , f x A g x B ==那么B A x g x f x g x f ±=±=±) (lim ) (lim )]() (lim[13 ()()()()lim lim lim f x g x f x g x A B ⋅=⋅=⋅⎡⎤⎣⎦ 若又有0≠B ，则B Ax g xf x g x f ==) (lim )(lim ) () (lim（2）如果) (lim x f 存在，而c 为常数，则) (lim )](lim[x f c x cf =（3）如果) (lim x f 存在，而n 为正整数，则n n x f x f )]([lim)](lim[=（4）如果) () (x x ϕδ≥，而b x a x ==) (lim , ) (lim ϕδ，则b a ≥（5）设有数列{}n x 和{}n y ，如果() n n n x y A B →∞+=+ 那么，() n n n x y A B →∞+=+lim n n n x y A B →∞=⋅ 当()01,2,... n y n ≠=且0b ≠时，lim n n n x Ay B→∞=例1 121lim 1--+→x x x解：原式=43) 21)(1(33lim ) 213)(1(2) 13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。注：本题也可以用洛比达法则。例2 ) 12(lim --+∞→n n n n解：原式=23123lim 12)]1() 2[(lim =-++=-++--+∞→∞→nn n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n nn n 323) 1(lim ++-∞→ 解：原式11) 32(1) 1(lim 3=++-=∞→n n n n上下同除以 。 三，极限运算思维的培养14 极限运算考察的是一种基本能力，所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使学习事半功倍。而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义。如何培养，一方面要立足概念，另一方面则需要在具体的运算中体会，多做题多总结。四. 结束语上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于平时练习中不经常使用，这里不作一一介绍了。[参 考 文 献][1] 同济大学应用数学系 高等数学 1997[2] 吉米多维奇. 数学分析[M].济南:山东科技文献出版社1995.[3] 陈纪修, 等. 数学分析[M].北京:高等教育出版社,1999.[4] 同济大学应用数学组. 高等数学[M].北京:高等教育出版社,1996. 第3期张宏达:高等数学中求极限的常用方法41?
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x趋于0+时，1/x趋于正无穷那么e的1/x次方趋于正无穷而x趋于0-时，1/x趋于负无穷故e的1/x趋于0左右极限不相等，那么极限值不存在
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1/x趋于无限大，所以极限不存在。
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limx趋于0 ((1+x)^(1/x)-e)/x 求该式的极限
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原式 = lim (e^(ln(1+x)/x) -e)/x=lim e(e^(ln(1+x)/x - 1) -1 ) /x =lim e(ln(1+x)/x -1)/x =e lim (ln(1+x)-x)/x²=e lim (1/(1+x)-1) / 2x =e lim -x/(2x(1+x))=-e/2
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∴((1+x)^(1/x)-e)/x~[ e(1-x/2)-e ]/x=-e/2 ∴ lim((1+x)^(1/x)-e)/x=-e/2.
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limx趋近于0f(0到x)cost^2dt/x求极限
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元旦快乐!Happy New Year !1、本题是无穷小除以无穷小型不定式；2、解答方法是运用罗毕达求导法则；3、分子是积分函数,关于对积分函数的求导方法总结在第二张图片上.具体解答如下：
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