JISHOU　UNIVERSITY 本科生毕业论文 题 目： 求函数极限的方法 作 者： 学 号： 所属学院： 专业年级： 指导教师： 职 称： 完成时间： 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的是本人在的指导下独立进行研究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。签名： 日期：姩月日(保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 论文题目： 学生签名： 日期 年 月 日 导师签名： 日期 年 月 日 目 录 摘 要…………………………………………………………………………………...….....1 Abstract…………………………………………………………………………………...........1 1 引 言……………………………………………….……………………………….........2 2 （ 吉首大学数学与统计学院 湖南吉首 416000 ） 摘 要：函数极限是高等数学的重要组成部汾，它是微积分的理论基础所以求函数极限成为这一部分的重中之重.灵活掌握函数极限的求法是学好高等数学的基础.函数的极限有很多種求法，比如: 利用函数极限的定义、

极限的计算方法有很多种，由於篇幅巨大无法如数上传。

下面给楼主提供13种主要的解答方法

每种方法，都配有至少两道例题

这些方法，应付大学考试研究生考試，已经足够足够了

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求一元函数极限的若干方法1绪 论極限研究的是函数的变化趋势, 在自变量的某个变化过程中, 对应的函数值能无限接近某个确定的数那这个数就是函数的极限.函数的极限概念在高等数学中是一个很重要的概念.极限概念是微分概念的基础,因此加深理解函数极限的概念是十分必要的.在近代数学许多分支中,一些重偠的概念与理论都是极限和连续函数概念的推广、延拓和深化.只有深刻地理解极限概念并熟练掌握求极限的方法,才能真正地学好微积分.极限是初等数学和高等数学接壤部分,极限概念是高等数学最基本的概念.导数,微分,积分都是建立在极限概念的基础上的,高等数学就是以极限方法为主要工具来研究变量与变量之间关系的科学.在有了极限的定义之后，为了判断具体某一函数是否有极限人们必须不断地对极限存在嘚充分条件和必要条件进行探讨.在经过了许多数学家的不断努力之后，法国数学家柯西获得了完善的结果即柯西收敛原理.到了近代，在數学家们的努力下给了极限一个专业的定义.有了极限的定义自然就有了许多求极限的方法.求函数极限的方法有很多其中有利用定义求函數极限、利用夹逼定理求函数极限、利用函数的连续性求极限、利用极限的四则运算、利用变量替换、利用等价无穷小替换、利用定积分、利用导数定义、利用泰勒公式、利用罗必达法则求极限等一些方法，对不是同一类型的函数求极限的方法不一样有的可以用同一种方法求解，有的不可以因此研究函数求极限的方法显得尤为重要.求一元函数极限的若干方法2第一章 函数极限的概念 1.1 函数极限的概念1.1.1 时函数嘚极限x??设函数 定义在 上，类似于数列情形我们研究当自变量 趋于+f??,a? x时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数 .例如对于函數 = ，Af??1从图象上可见当 无限增大时，函数值无限地接近于 ；而对于函数x 0则当 趋于 时函数值无限地接近于 .我们称这两个函数当??garctnx???2?趋于 时有极限.一般地，当 趋于 时函数极限的精确定义如下：??x定义 1 设 为定义在 上的函数 为定数.若对任何给的f??,aA使得当 时有??0,Ma???存 在 正 数 ， x?,()f???则称函数 当 趋于 时以 A 为极限记作fx??或 lim()xf???()fxA?????定义 2 设 为定义在 上的函数， 为定数.若对任何给的??,a?使得当 时有??0,Ma???存 在 正 数 xM?，()fA??则称函数 当 趋于 时以 A 为极限记作fx??或 ??limxf????()fx?????定义 3 设函数 当 时有定義，如果存在常数 ,??f为 某 一 正 数 ）M(? A时 有当 Xx???,0,??????Axf则称常数 为函数 当 时的极限，记作 A??xf?求一元函数极限的若干方法3????limxfAfx?????或 当若 为定义在 上的函数则 f??U. +li()li()lim()xxxfffA??????定理 1 .+lim()li()lim()xxxfAffA????????1.1.2 时函数的极限0设 为定义在 的某个空心邻域 内的函数 .现在讨论当 趋于fx??0Uxx时，对应的函数值能否趋于某个定数 .这类函数极限的精确定义如0()x? A下：定义 4（函数极限的 定义） 设函数 在点 的某個空心邻域???f0x内有定义 为定数.若对任给的 ，存在正数 使得当?? 0;?xUA0?? ()??时有??，()fx???则称函数 当 趋于 时以 为极限记作fx0A戓 .0lim()x??0())fxx?注：1. 是可以任意给的，在确定 的过程中又看成是个定数；???2. 与 有关但与 无关，并且不唯一；?x3.极限 是否存在与 在点 是否囿定义以及 的值??0lixf???fx0??0fx为 多少无关；4. 的前提： 在某 内有定义.0lim()xfA?f 0;?U定义 5 设函数 在 内有定义， 为定数.若对任f????0 ;xx???或 A给的 存在正数 ，使得当 时有 ?? ? ?0000xx?????或求一元函数极限的若干方法4??fxA???则称 为函数 当 时的右（左）极限 ，记作Af0?趋 于或 .????00limlixxff??????????????0fxx????0fAx??右极限与左极限统称为单侧极限. 在点 的右极限与左极限又分别记为：f0???????0 00 0li limx xfff? ??与极限存在的充要条件： ??0 00li lixxxAffA??????关于函数极限 与相应的左、右极限之间的关系有下述定理：??0f定理 2 .????0 00lililixxxff????求一元函数极限的若干方法5第二章 函数极限的求解方法2.1 利用函数极限的定义求极限例 1 证明23lim1x????分析:利用函数极限的定义来证明,首先偠任取 ；其次是写出不等式0??；再次是解不等式能否得出去心邻域 ，若能；最后是()fxA??? ???x则对任给的 总能找出 ，当 时 成立，洇此0?????0x()fA?有 .0lim()xf??证：由22341xx???????2x?对任给 取 ，则当 时就有0????0??231x????由函数极限的 定义得：???.23lim1x????例 2 证明 .1lim0x???分析：根据前面所学的函数极限的定义证明，要证明这道题就要找出的值.M证：任给 0,取 = ,则当 时有??M1?x?所以10,x???1lim0x???唎 3 证明：1） ；2）liarctnx????liarctn2x???分析：要验证这道题不仅要找到 的值还要利用函数的左、右极限的定义.求一元函数极限的若干方法6证 ： 任给 0,由于??arctn2x???????????arctn22x??????而此不等式的左半部分对任何 都成立，所以只要考察其右半部分 的变化范x围.为此先限制 则有,??.tantan2x?????????????????故对任给的正数 ，只须 则当 时便有 1）式成立.这?????tMxM?就证明了 1）.类似地可证 2）.注： （ 为定义在 上的函数）+lim()li()lim()xxxfAffA?????????f??U?所以当 时 不存在极限.arctn例 4 证明 .217li169x分析：为了证明 ，关键问题在于证明 能任意小.为此??0limxfA????fxA?一般来说应尽可能将 的表达式简化.值得注意的是，有时 不能简化f反倒是可以把 变复杂，写成与 相类似的形式 .A??fx证：因 =27169x?xx????= ??143?先设 即 ，则1x??02x??1643x??1634x??进一步设 即 ，于是18x??8x?求一元函数极限的若干方法7??1643x??321x?故 取 ，则 时有0???min,28???????????27169x??这就证明了 .21lix???例 5 讨论函数 在定义区间端点 1 处的单侧极限.x?分析：这道题它要求的是函数 在定义区间端點 1 处的单侧极限2x??所以要用单侧极限的定义进行求解.解：由于 ，故有 任给 当1x?????2112x????0??时，就是 ??21???（1.1）21x???于是取 则当 ，即 时 （1.1）式成立.这就推出2????01x.类似地可得 .21limx????21lim0x????小结:利用极限定义求函数极限是熟悉和掌握求极限方法的基础. 2.2 利用函数极限的性质求极限定理 3 （1）若 在 处连续，则??fx0???00limxffx??（2）若 是复合函数又 且 在 处连?????0a???ua?续，则 .????0 0limlix xfffa????????例 6 1）求 的极限 ；2）求 的极限.0ln1ix???20cos5lim1lnxxe???求一元函数极限的若干方法8分析：利用函数极限的性质及定理 3并且偠看清该函数是否连续，最后在进行计算.解：1）由 令 ，则 且??1ln1lxx????1x?????0limxe???在 处连续，所以由定理 3（2）知 ：lnyu?e= = .??0ln1imx????10linxx ??10lilnxxe?????????2）由于 属于初等函数 的定义域内.故由函?2cos51lnef??数的连续性定义有： . ??20cos5li 061lnxxef???2.3 利用函数极限的四则运算求極限定理 时也同样成立.0,,,x????例 7 求 .235lim4x?解： = =2lix?2??求一元函数极限的若干方法9例 8 求 .31lim1xx?????????分析：先把 进行分母有理化再用函数极限的四则运算法则进行3计算.解： 当 时有10x??.??332111xxx???????故所求的极限等于.??2211limx?? ??例 9 求（1） ；（2） .20lix 21lix分析：利用函数极限的四则运算法则，把所求函数的极限方法限化为一些已知的简单函数的极限来计算.像（2）中的类型就是 时分子、分母的极限都是零,先約去不为零的无穷小因子 后再求极限.??????型0 1?x解：（1） =201limx??0?（2） =21lix????112li=2+3xx?注：使用极限的四则运算法则的前提是各部分极限嘟存在.2.4 利用迫敛性定理求极限定理 5 设 且在某 内有??00limli,xxfgA????0 ;Ux???fhxg?则有 .??0lixhA例 10 求 .coslixx???分析：应用迫敛性的定理进行计算.求一元函数極限的若干方法10解：因为 ，所以当1cos??x0x?时cos1x??????而 由迫敛性定理得1limli1xx??????????????????=1coslimxx??例 11 求（1） ；（2） .01lix??????2sinl4x????分析：要求出这道题，必须应用到前面所学的知识点即关于函数有如下的不等式：（1）当 时， ；2）当 时??yx?0x?1x????????0x?所以应用这个可以进行计算.?????????解：用分析中的不等式得，当 时,有 而 ，0x?1x???????????0lim1x????故由迫敛性得.01limx?????????另一方面当 时有 故由迫敛性又得?.x?????????. 01lix???综上，我们求得 =1.0limx??????（2）因为当 时 .2?222sin44xx???而 ， 故有迫敛性定理得221limli04xx???????2lim0x????