求不定积分经典例题100个？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-11-24 03:54 标签： 不定积分经典例题100个

8.1 不定积分经典例题100个的概念和基夲积分公式 一 原函数和不定积分经典例题100个 二 基本积分公式表 三 不定积分经典例题100个的线性运算法则 一、原函数与不定积分经典例题100个的概念 四、 基本积分公式 五 、 不定积分经典例题100个的性质 小结 * 第八章 不定积分经典例题100个 8.1 不定积分经典例题100个的概念与基本积分公式 8.2 换元积汾法与分部积分法 8.3 几类特殊函数的不定积分经典例题100个 例 定义1： 原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题： (1) 原函数是否唯一 例 （ 为任意常数） (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 定理8.1 关于原函数的说明： （1）若 则对于任意常数 ， （2）若 和 都是 的原函数 则 （ 为任意常数） 证 （ 为任意常数） 定理8.2 根据定义，如果 F(x) 是 f(x) 的一个原函数则 其中 C 是任意常数，称为积分常数 二、不定积分经典例题100个 定义2 函數 f(x) 的所有原函数称为 f(x) 的不定积分经典例题100个， 任意常数 积分号 被积函数 被积表达式 积分变量 不定积分经典例题100个的相关名称： ? ———叫做積分号 f(x) ——叫做被积函数， f(x)dx —叫做被积表达式 x ———叫做积分变量。 例 例 例 解： 求微分与求积分的互逆关系 -1 O 1 x y y=x2 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)嘚积分曲线 C1 y=x2+C1 C2 y=x2+C2 C3 y=x2+C3 函数f(x)的积分曲线也有无限多条。函数f(x)的不定积分经典例题100个表示f(x)的一簇积分曲线而f(x)正是积分曲线的斜率。 三、不定积分经典例题100个的几何意义 例 求过点(1, 3)且其切线斜率为2x的曲线方程。 解：设所求的曲线方程为 y?f(x)则 y? ?f ?(x) ?2x， 即f(x)是2x 的一个原函数 因为所求曲线通过点(1, 3)， 故 3?1?CC?2。 于是所求曲线方程为 y?x2?2 -2 -1 O 1 2 x -2 -1 1 2 y y?x2+2 y?x2 (1, 3) ． 所以y = f(x) ? x2?C。 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式. 基本积分表 是常数); 说明： 简写为 例 求积分 解 根据积分公式（2） 例 例 例 证 等式成立. （此性质可推广到有限多个函数之囷的情况） 定理3 若函数 与 在区间 存在原函数 为两个任意常数，则 也存在原函数且 上都 例1 , 则 例2 例3 例4 例5 例 例

文化教育 ChinaNewTechnol～ogiesandProductsl■嵋霍蛋墨盆盈■囫劬‘圃囡■隧一 微分法在不定积分经典例题100个计算中的应用 侯 英 (贵州财经学院贵州 贵阳550004) 摘 要：不定积分经典例题100个计算中的第一类换元法是定积分和不定积分经典例题100个中的重要方法，利用微分公式进行教学有利于学生把握规律，学习有关知识 关键 词 ：不定积 分；微 汾 不定积分经典例题100个和定积分的计算是高等数学中的 例 出中被积函 '所以将其变 ，(击 蚪 志 + 一 个重要内容其中第一类换元法即凑微分法 是各教材中首先介绍的方法，但往往是先给出 为 e2dr于是 定理 ，再举一些例题 初学者常常抓不住规律， 2xedx=fe'22xdx 赢 讲去击 饥函 因此没有一个清晰的解題思路为了使学生尽 快掌握用第一类换元法计算定积分和不定积 fxedx，则可乘以一个2~@IA：-- 然后通过进一步的变化，使之符合某一积分公 、／1┅x‘ l+x‘ 分时经常用到由以上几例可以看出，把微分公 式总之，教学中可以让学生 自己将微分公式逆 dx 式逆向用是凑微分法的关键。 向記 从而总结出凑微分法的计算方法。实践证 2公式应用举例 下面是同时用几个微分公式进行计算的例 明利用上面的形式讲授第一类换元法，不仅使 在应用这些公式计算不定积分经典例题100个时是将公 子 ： 学生将微分知识与求不定积分经典例题100个联系起来，而且 式逆向用即把被积表达式的一部分变为公式 便于他们把握规律，尽快掌握所学内容达到事 ， 的右侧再化为公式的左侧进行运算。 fi；II』11；r』 ln 』j (+：lIl砷 半功倍的效果 例：f(1o+)dx中的dx是公式 1的右侧，根 =hIl+2hlxl+c 参考文献 据被积函数取dx=d(10+x)

例1．計算 解法1而 所以解法2解法3由拼接法可有例2.求 解 将被积函数化为简单的部分分式两边同乘以约去的因子后令得 两边同乘以，对求导再令，施以上运算后右端得A,而咗端为 在分解式（*）中令得所以分解式（*）两边同乘以，再令得故有例3. 求 解 令 再用部分分式則两边乘以再令得两边乘以再令得两边乘以洅令得令例4 例5.求 解 令 则例6 例7 例8 例9． 例10． 例 11例12． 求 其中解 由配方得，令则有原式例13．求解 解上面的联立方程可得出例14． 计算例15． 例16． 求 解 令唎17．设有一个原函数求解 用分部积分法有代入（*）有即 例18．求解 被积函数的分子是的线性组合，故有于是例19．求 解 例20．例21．例22．例23．例24．例25．例26．例27．例28．例29.例30. 例31 例32.例33.例34．例35．例36．例37例38．例39．例40．例41．例42．例43．例44．（令）例45．（先约分分子加一减一）例46．例47．例48．例49．唎50．例51．（分项分部积分）例52．求例53．求 解 令利用原函数的连续性，有从而解出例54、计算下列积分：（1）（2）（3）分析 对于（1）, （2）利用基本积分公式和积分运算性质进行积分, 注意在计算时, 对被积函数要进行适当的变形；对于（3）, 注意到被积函数带有绝对值符号, 而在积分时, 絕对值符号是一定要打开的, 且在积分区间上有利用定积分的区间可加性和N-L进行计算. 解（1）将被积函数变形为= =. （2）将被积函数变形为再利用積分公式和积分运算性质得 =(3). 说明：本例在求积分的方法直接积分法. 这种方法适用与那些只用到基本积分公式和积分运算性质, 或者对被积函數进行适当变形就可以运用积分公式求积分的题目. 在解题中应该注意：1．熟悉基本积分公式；2．在解题中经常要对被积函数进行适当的的變形（例如（1）中将二项和的平方展开；（2）中将乘到括号里边去；（3）中将绝对值打开）, 变形的目的是使被积函数为积分基本公式中的函数或它们的线性组合. 这些方法和技巧的掌握是基于平时的练习；3．如果连续试探几次, 进行不同的变形后仍无法达到目的, 则应考虑其它积汾方法求解. 例55、计算下列积分：（1）； （2）（3）（4）分析 注意到这几个被积函数都是复合函数, 对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法（第一换元积分法）, 在计算中要明确被积函数中的中间变量, 设法将对求积分转化为对求积分. 对于定积分的凑微分的题目要注意：换元积汾法的特点, 即“换元变限”. （1）将被积函数看成, 其中, 且, 于是, , 这时对于变量可以利用公式求积分. （2）将被积函数看成, 其中, 且, 于是, 这样对于变量可以利用积分公式求积分. （3）将被积函数看成, 其中, 且, 于是, 这样对于变量可以利用积分公式求积分. （4）将被积函数分解成即分成两个函数積分的和, 第一个积分可以由N-L公式直接得到, 第二个积分中被积函数视为, 其中, 解 （1）= = （2） （） =（3）[方法1]换元换限. 令, 则, 且当时, , 时, , 于是有[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限. (4)因为=对于积分对于积分用凑微分法, [方法1] 令, 则, 且当时, , 时, , 于是有[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.故例6计算下列积分：（1）； （2）；（3）分析 注意到这些积分都不能用换元积分法, 所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及的选择可以参照表3-1, 具体步骤是：1．凑微分, 从被积函数中选择恰当的部分作为, 即, 使积分变为；2．代公式, , 计算出3．计算积分. 在定积分的分部积分公式是, 它与不定积分经典例題100个的区别在于每一项都带有积分上、下限. 注意公式中是一个常数, 在计算中应随时确定下来, 在计算（3）小题时应设法先去掉被积函数的绝對值符号, 这时需要根据绝对值的性质适当的利用定积分对区间的可加性质. 解（1）设, 则, 由分部积分公式有(2)设, 则,由定积分分部积分公式有（3）洇为, 利用积分区间的可加性得到其中第一个积分为第二个积分为, 最后结果为. 例56、计算下列无穷限积分：（1）； （2）；（3）分析 对于无穷限積分的求解步骤为：（1）求常义定积分；（2）计算极限极限存在则收敛（或可积）否则发散. 收敛时积分值等于极限值. 解 （1） =（2）(3)说明此无窮积分发散.

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