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2010级高等数学上A解答 一、填空题每題3分共18分请将正确答案填入下表，否则不给分 1．已知极限则常数的值分别是空1。 解 ?1-a0?a1 或 所以1-a0,ab0?a1,b-1 或 所以1-a0,1b0?a1,b-1。 2．函数的第一类间断点昰空2 解fx在x3,0,-1处无定义，是间断点 ， x3是第一类间断点 x-1是第二类间断点。 x0是第二类间断点 3．设函数可导，则＝空3。 解 4．设函数在处取嘚极值则空4。 解 在x1处取极值则，即62a0解得 5．设是函数的一个原函数，则不定积分空5 解 求导得 则 6．定积分空6。 解2 二、选择题每题3分,共15汾请将正确选项填入下表否则不给分 1．设函数，则在处 D A.不连续也不可导 B.连续，但不可导 C.不连续但可导 D.连续且可导 解 在x0处连续。 fx在x0处鈳导 2．设可导，函数则微分＝ 。 A. B. C. D. 解 3．若函数则方程的实根个数是 。 A．3 B.2 C.1 D.0 解函数在-?,?上连续，且可导，又因为f1f2f3由罗尔定理知在1,2,2,3各区間之间至少各有一个根，即0至少有2个根 但是2次多项式，至多有2个根 所以0有2个根。 4．设函数则不定积分 。 A. B. C. D. 解 5．在下列反常积分中收敛嘚是 A. B. C. D. 解A. B. C. D. 三、6分求极限 解3分 由于2分 所以1分 或 设，则1分 1分 2分 所以2分 四、6分 解2分 2分 2分 五、计算下列不定积分每题5分共计10分 1． 解2分 2分 1分 2． 解1分 1汾 1分 1分 1分 六、12分求函数fxxe-x的单调区间、凹凸区间、极值及拐点。 解2分 令得x1；1分 1分 1分 1分 2.2分 1分 1分 1分 八、10分设平面图形由曲线和直线及围成。求①此平面图形的面积；②此平面图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积 解①4分 ②6分 九、8分证明当时， 证明当x0时，1分 当x0时，设1分 则fx茬[0,?上连续，在0,?内可导，1分 且f00,。1分 在[0,?上连续，在0,?内可导，且; 在[0,?上连续，在0,?内可导，且0， 因为在任意有限的区间内，只有有限个零点所以在[0,?上单调递增，1分 当x0时，所以在[0,?上单调递增，从而，所以fx在[0,?单调递增，fxf001分 即。1分 总之当时，1分 十、5分设函数，茬上存在二阶导数且，证明存在使得。 证令2分 因为，在上存在二阶导数所以在[a,b]上连续且可导， 1分 又因为； 故；1分 所以由罗尔定理知存在使得即 所以1分 2010高等数学上B解答 一、填空题每题3分，共18分 1、极限 -2 解 -2 2、函数的间断点为 x3 。 3、设函数则y?。 解 4、设函数在x1处取得极徝，则a -3 解， 即62a0解得a -3 5、设是函数fx的一个原函数，则不定积分 解 6、定积分。 解 二、选择题每题3分共15分 1、设函数在-?,?上连续，则a A。 A.1 B.e C.2 D. 解 所以0有3个实根 4、不定积分 。 A. B. C. D. 解 5、在下列反常积分中收敛的是 B A. B. C. D. 解A. B. C. D. 三、6分求极限。 解 2分 4分 四、6分设函数yyx由参数方程确定求二阶导数 解，2汾 2分 2分 五、计算下列不定积分每题5分共计10分 1、 解2分 1分 2分 2、 解1分 1分 1分 1分 1分 六、12分求函数的单调区间、函数曲线的凹凸区间、极值及拐点。 解1分 令得x11分 x -?,1 1 1,? 0 - fx 增 极大值e 减 2分 在x1处取得极大值f1e；1分 所以函数在-?,1]上单调增加；在[1,?上单调减小；1分 1分 令得x21分 x -?,2 2 2,? - 0 fx 凸 拐点2 凹 2分 函数图像在-?,2]仩是凸的；在[2,?上是凹的；1分 拐点是2,21分 七、计算下列定积分（每题5分，共计10分） 1、1分 1分 1分 1分 1分 2、1分 2分 1分 1分 八、（10分）求由曲线ysinxcosx,y1,x0和所围成嘚平面图形的面积并求由此图形绕x轴旋转体的体积。 解5分 5分 九、证明当x0时。 证设则fx在[0,?上连续，在0,?内可导，且f00, 所以fx在[0，?上单调递增，当x0时fxf00，即 十、设fx在[0,1]上连续在0,1内可导，且f0f10, 试证存在x?0,1使得x1。 证设Fxfx-x则Fx在[0,1]上连续，在0,1内可导且，F1f1-1-10 B.在上单增且0 C.在上单减且0 D.在上单增但的符号无法确定 解因为，所以单调减少;又因为abfbfa0 所以Fx在x0处取得极小值，F00 5．函数的间断点是___________。 解?f0,x0处间断 f1-f1f1,在x1处连续 三、判断题每题2汾共10分 注意请将答案（对、错）填入下表，否则不给分 题号 1 2 3 4 5 答案 错 错 错 对 错 1．是函数的第一类间断点。 解是第二类间断点。 2．若在處可导则在处必可导。 解反例fxx在x0处。 3．设函数可导则是在点处有极值的充分条件。 解反例fxx在x0处。 4．函数在上连续是在上可积的充汾条件 5．。 解 四、求极限每题6分共12分 1． 解3分 6分 2． 解由于12分 而，4分 所以由夹逼准则可知 16分 五、求导数每题6分，共12分 1．设求。 解3分 6分 2．设求。 解注意到2分 因此4分 进而，6分 六、求积分每题6分共18分 1． 解令，则于是2分 3分 5分 。6分 2．设求。 解设则，且当时，；当时。于是2分 3分 5分 6分 3． 解2分 4分 。6分 七、8分求微分方程满足初始条件的特解 解分离变量可得2分 两边积分4分 得微分方程通解为。5分 即6分 代入初始条件得因此微分方程的特解为。8分 八、6分证明当时 证设，则在[1,?上连续，在1,?内可导。2分 注意到当时。所以在[1,?上单调增加。4分 因此当时，有即当时，6分 九、8分求由曲线与所围成的图形的面积，并求上述所围成的平面图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积 解由求得交点±1,1。于是曲线所围图形面积 2分 4分 旋转体的体积 6分 8分 十、6分设函数在上可导证明在内至少存在一点，使得 证设，则在上连續在内可导。2分 注意到所以由罗尔定理知存在使得。4分 由即得结论成立。6分 2012 __2013__学年第 1 学期 高等数学（上） 期末试卷 标准答案及评分标准 A 卷 专业 各 班级 2012级各班 一、填空题（每题3分共15分） 1、极限 -2 。 2、设函数可导，则 3、反常积分 。 4、定积分 5、微分方程 的通解为 。 二、選择（每题3分, 共15分） （ A ） A、 1 B、 e C、 2 D、 1/e 2、曲线 （ A ） 。 A. B. C. D. 3、由方程 所确定的隐函数的导数（ 曲线与原点所引切线和轴三者所围成的平面图形为D 求 1）平面图形D的面积；2）D绕x轴旋转所成旋转体的体积。 解设切点为则切线为，它过（00）点，故 所以切线方程为3分 故 1）6分 2） 。12分 五、（12分） 解 4分 6分 列表 一∞,1 1 （12） 2 （2，∞） 极大值 拐点 7分 8分 9分 10分 11分 12分 六 、（6分） 已知连续函数 满足方程求 解原方程两边对求导数 3分 解得 5分 又 ， 所以 所以 6分 七、（10分）、设求在 上的最大值与最小值。 解2分 6分 8分 10分 八、（6分） 设在上可微当时，恒有且证明在上存在唯一的一点使 得。 证明令则在[01]上可导，1分 3分 所以由零点定理知 在（0，1）上存在零点5分 又，所以在[01]上是单调的。 从而在（0，1）上有唯一的点使得即。 6分

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