如图1所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．求证：（1）BD=DE+CE．（2）若直线AE绕A点旋转到如图2位置时（BD＜CE），其他条件不变，判断BD与DE，CE的关系并说明理由．（3）若直线AE绕A点旋转到如图3位置时（BD＞CE），其他条件不变，则BD与DE，CE的关系又怎样？请写出结果，不必证明．【考点】．【专题】证明题．【分析】（1）根据已知条件易证得∠BAD=∠ACE，且根据全等三角形的判定可证明△ABD≌△CAE，根据各线段的关系即可得结论．（2）BD=DE+CE．根据全等三角形的判定可证明△ABD≌△CAE，根据各线段的关系即可得结论．（3）同上理，BD=DE+CE仍成立．【解答】解：证明如下：（1）∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵CE⊥AE，∴∠ACE+∠CAE=90°，∴∠ACE=∠BAD；又∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠ADB=∠CEA=90°，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，AD=CE；∵AE=DE+AD，∴BD=DE+CE；（2）DE=BD+CE．∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵CE⊥AE，∴∠ACE+∠CAE=90°，∴∠ACE=∠BAD；又∵BD⊥AE，CE⊥AE∴∠ADB=∠CEA=90°，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，AD=CE；∵DE=AE+AD，∴DE=BD+CE；（3）结论是：当B、C在AE两侧时，BD=DE+CE；当B、C在AE同侧时，BD=DE-CEDE=BD+CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到直角三角形的性质、余角和补角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：110397老师　难度：0.45真题：1组卷：7
解析质量好中差已知：在直角三角形ABC中,角BAC=90度,角1=角2,CE垂直于BD交BD的延长线于E,求证：BD=2CE_作业帮
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已知：在直角三角形ABC中,角BAC=90度,角1=角2,CE垂直于BD交BD的延长线于E,求证：BD=2CE
已知：在直角三角形ABC中,角BAC=90度,角1=角2,CE垂直于BD交BD的延长线于E,求证：BD=2CE
原题是这样的：已知三角形ABC中,AB=AC,角A=90度,BE平分角B,CE垂直于BD于E.求证:BD=2CE图/R.asp?U=img15/my//.bmp首先做辅助线,延长CE交BA的延长线于F 因为角EBF=角EBC,BE=BE,角BEF=角BEC=90度 所以三角形BEF和BEC全等 所以BC=BF,CE=EF 所以CE=1/2 CF 又因为角ABD+ADB=90度,角ECD+CDE=90度,角ADB=CDE 所以角ABD=ECD 因为AB=AC,角DAB=FAC 所以三角形DAB和FAC全等 所以BD=CF 所以CE=1/2 BD 所以BD=2CE如图,在 △ABC中,D为BC的中点,DE⊥BC交∠BAC的角平分线AE于E,EF⊥AB于F,EG⊥AC交AC于G,求证BF=CG_作业帮
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如图,在 △ABC中,D为BC的中点,DE⊥BC交∠BAC的角平分线AE于E,EF⊥AB于F,EG⊥AC交AC于G,求证BF=CG
如图,在 △ABC中,D为BC的中点,DE⊥BC交∠BAC的角平分线AE于E,EF⊥AB于F,EG⊥AC交AC于G,求证BF=CG
在Rt△AFE与△AGE中, 角FAE＝角EAG (题设） AE=AE (公用） △AFE全等于△AGE
(ASA)(因在Rt△中,一斜边和一锐角对应相等,另一锐角必相等） 故,EF=EG (全等三角形对应边相等） 因DE垂直BC于D点,且D为BC的中点,故△BEC为等腰三角形,BE=CE 在Rt△BFE与△CGE中,EF=EG,BE=CE则,Rt△BFE全等于Rt△CGE (ASA,或SAS）（在Rt△中,有两条边对应相等,其对应锐角必相等) 故,BF=CG (全等三角形对应边相等）
我来帮他解答图片符号编号排版地图您还可以输入9999 个字您提交的参考资料超过50字，请删除参考资料：匿名提交回答 05:08满意回答在Rt△AFE与△AGE中，角FAE＝角EAG (题设）AE=AE (公用）△AFE全等于△AGE (ASA)(因在Rt△中，一斜边和一锐角对应相等，另一锐角必相等）故，EF=EG (全等三角形对应...
连接BE CE 证明三角形BEF全等三角形CEG
∵D是BC中点，且DE⊥BC，
∴BE=CE（一条线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）
又AE是∠BAC的平分线，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴△EFB≌△EGC（H，L），
证明：连接EB、EC，∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，∴EF=EG，又∵D为BC中点，EF⊥BC，∴EB=EC，可证Rt△BEF≌Rt△CEG，∴BF=CG．如图，已知三角形ABC中,BC边上的垂直平分线DE与角BAC的平分线交于点E，EF垂直AB交AB的延长线于点F，
如图，已知三角形ABC中,BC边上的垂直平分线DE与角BAC的平分线交于点E，EF垂直AB交AB的延长线于点F，
BG垂直AC交AC于点G。求证：(1)BF=CG (2)AF=二分之一(AB+AC)
不区分大小写匿名
先求△AFE≌△AGE： 
A：∠FAE=∠EAG(角平分线性质) 
B:∠G=∠AFE(垂直性质) 
C:AE=AE(公共边) 
所以△AFE≌△AGE 
所以FE=EG 
再求RT△BFE≌RT△CGE 
A:FE=CE 
B:EB=EC(中垂线性质,即D为BC中点,且ED垂直BC) 
所以△BFE≌△CGE(H.L) 
所以BF=CG
证明：连接BE，CE，
∵E在∠BAC的平分线上
∴EF=EG
∵E在BC的垂直平分线上
∴EB=EC
∵∠EFB=∠EGC
∴△EBF≌△ECG
∴BF=CG（2）∵EF=EG，AE=AE，∠AFE=∠AGE
∴△AFE≌△AGE
∴AF=AG
∵BF=CG
∴AF-AB=AC-AF
∴2AF=AB+AC
∴AF=1/2（AB+AC
连接BE ,CE由角平分线的性质可得FE=GE由垂直平分线的性质可得BE=CEFE=GEBE=CE∠BFE=∠CGE=90°△AEF≌△ACE△BEF≌△CEG 证 BF=CG
1先求△AFE≌△AGE： A：∠FAE=∠EAG(角平分线性质) B:∠G=∠AFE(垂直性质) C:AE=AE(公共边) 所以△AFE≌△AGE 所以FE=EG 再求RT△BFE≌RT△CGE A:FE=CE B:EB=EC(中垂线性质,即D为BC中点,且ED垂直BC) 所以△BFE≌△CGE(H.L) 所以BF=CG
2证明：连接BE，CE，∵E在∠BAC的平分线上∴EF=EG∵E在BC的垂直平分线上∴EB=EC∵∠EFB=∠EGC∴△EBF≌△ECG∴BF=CG（2）∵EF=EG，AE=AE，∠AFE=∠AGE∴△AFE≌△AGE∴AF=AG∵BF=CG∴AF-AB=AC-AF∴2AF=AB+AC∴AF=1/2（AB+AC
2证明：连接BE，CE，∵E在∠BAC的平分线上∴EF=EG∵E在BC的垂直平分线上∴EB=EC∵∠EFB=∠EGC∴△EBF≌△ECG∴BF=CG（2）∵EF=EG，AE=AE，∠AFE=∠AGE∴△AFE≌△AGE∴AF=AG∵BF=CG∴AF-AB=AC-AF∴2AF=AB+AC∴AF=1/2（AB+AC
证明：连接BE、EC，由题意，ED⊥BC，D为BC中点，∴BE=EC，∵EF⊥AB EG⊥AC，且AE平分∠FAG，∴FE=EG，在Rt△BFE和Rt△CGE中，,∴Rt△BFE≌Rt△CGE （HL），∴BF=CG．第二个问2）∵AF＝AB+BF，AG＝AC-CG∴AF+AG＝AB+BF+AC-CG∴2AG＝AB+AC∴AG＝1/2（AB+AC）
(2)证明：过点E作 EN垂直AC于N，连接BE ,CE
(AC&AB)所以角CNE=角ANE=90度因为角BAC的外角平分线与DE交于E所以角EAF=角EAN因为EF垂直直线AB所以角BFE=角AFE=90度所以三角形BFE和三角形CNE都是直角三角形角AFE=角ANE=90度因为AE=AE所以三角形AFE和三角形ANE全等（AAS)所以EF=ENAF=AN因为DE垂直平分BC所以BE=CE所以直角三角形BFE和直角三角形CNE全等（HL)所以BF=CN因为AF=BF-ABAF=AN=AC-CN所以2AF=AC-AB所以AF=1/2(AC-AB)
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& &SOGOU - 京ICP证050897号如图：RT三角形ABC中，角ACB等于90度，CD垂直AB于D，AE平分角BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上的一点，且BF等于CE，求证：FK平行于AB
如图：RT三角形ABC中，角ACB等于90度，CD垂直AB于D，AE平分角BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上的一点，且BF等于CE，求证：FK平行于AB
1证：∵BH⊥PC∴在△PBC中，∠PBH=∠BCP∠CPB=∠BHA又AB=BC∴ △ABH≌△BCP∴ AH=BP∴ AH=BQ∴ HDCQ是长方形因此, DH⊥HQ2证:AC^2/AD^2= cos^2 ∠CAD =(1+cos2∠CAD)/2= 1/2 +cos∠BAC=1/2 + AC/AB 而 BC/2BD=(1/2)·(BD+CD)/BD= 1/2 +CD/BD由三角形角平分线定理,有:AC/CD=AB/BD ;则 AC/AB = CD/BD;则: 1/2 + AC/AB ＝ 1/2 +CD/BD ;即 AC^2/AD^2=BC/2BD这里用到的是三角函数的倍角公式;也可以完全用平面几何的方法如下:作DE⊥AD;且DE交AC于E;则 ∠BDE +∠CDA=90度;而 ∠CAD +∠CDA=90度,则 ∠BDE =∠CAD .于是又有∠BDE =∠BAD;∠B共用,因此,△BDE∽△ABD;则BD/AB=DE/AD;而明显有:Rt△ACD∽Rt△ADE;则 DE/AD = CD/AC;则BD/AB=CD/AC;→AB/BD=AC/CD ;→AB/BD +1 =AC/CD +1 ;→(AB+BD)/BD =(AC+BD)/CD ;过点D做DF垂直AB于F ∠DFA=∠DFB=90度 因为AD平分∠CAD 所以∠CAD=∠FAD 又∠ACB=∠DFA=90° AD=AD 所以△ACD全等于△AFD 所以AC=AF CD=CF 因为AC=BC,∠ACB=90° 所以∠ABC=45° 因为∠DFB=90 所以△BFD是等腰直角三角形 所以DF=BF 所以DF=BF=CD 因为AF+FB=AB AF=AC CD=DF=FB 所以AC+CD=AB 则:(AB+BD)/BD =AB/CD ;(AC+2BD)/BD =AB/CD ;则AC/AE=BC/2BD而且: AC/AD=AD/AE;于是有:AC^2/AD^2=(AC/AD)*(AD/AE)=AC/AE;3 作DF平行BE且交AC于F;则由此可以得到如下结论:AP=PD→AE=EF;而且
EF:EC=BD:BC因此, AE:EC=BD:BC易证明: △ABC∽△DBA∽△DAC ;由对应边成比例得:AC:AB=DC:AD=AD:BD ;即 DC:AD=AD:BD=K;于是可得到 DC:BD=(DC/AD)·(AD/BD)=K·K =K^2;则
BD:BC=1/(BC:BD)=1/[(BD+DC):BD]=1/(1+DC:BD)=1/(1+K^2);于是:
AE:EC=BD:BC=1:(1+K^2)
提问者 的感言：谢谢，我还想出了另一种方法. 相关知识
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