高数级数部分练习_百度文库
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高数级数部分练习
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5、根值审敛法（柯西判别法）定理 对于正项级数 ? un , 若 lim n un ? ?，?n? ?则当ρ&1时级数收敛， 当ρ&1时级数发散，ρ=1时级数可能收敛也可能发散。n ?1证明：(i) 当ρ&1时，取一适当小的正数ε，使ρ+ε= r&1。?nun ? ? ? ? ? r ? 1?由极限定义，存在N，当n≥N时有不等式，? 即有 un ? r n , 而? r n收敛， ? un收敛。n ?1n ?1(ii) 略(iii) ρ=1时，仍以p-级数为例1例2 判别下列级数的敛散性 ? ? 1 2n (1)? ( 2)? ln n n n ?1 (ln n) n ?1 8解： 1 n u ? lim (1) lim n ? 0，该级数收敛。 n? ? n? ? ln n2n 2 n ( 2) lim ln n ? lim[ ln n ] ? 2 ? 0, 该级数发散。 n? ? n? ? 8 8n21 总结： 1 若能求出 的阶，用比较判别法。 n2 当un 含有a n , n n时，用根值判别法。3 当un 含有a , n , n!时，用比值判别法。n n例4 判别下列级数的敛散性n n n (1)? n [ 2 ? ( ?1) ] n ?1 3n3 n3 [ 2 ? ( ?1) n ]n ? n [ 2 ? 1]n , 用比值，收敛。 3n 3注意：两种方法结合使用。3?3n?1 ( 2)? ( n ? 1 ? n ) ln n n ?1? p1 ln( 1 ? ) 1 1 n 解un ? ln( 1 ? ) ? n 2( n ? 1 ? n ) p 1 p p/2 2( 1 ? ? 1) n n 1取v n ?n 1? p / 2n1? p / 2un lim ? lim n? ? v n? ? n1 ln( 1 ? ) n1 2( 1 ? ? 1) p ? n p / 2 n?1 21? pp&0,故原级数收敛 .p?0,原级数发散。49.2.2、交错级数 1 定义：交错级数：u1－u2 + u3－…+ (－1)n-1 un+ … 或－u1+u2－u3+…+ (－1)n-1 un + … 其中uk&0 (k=1，2，…)。 2 莱布尼兹定理 ：如果交错级数 (i) un ≥ un +1；( ?1) n ?1 un满足条件 ?n ?1 ?(ii) un →0 (n→∞)，则级数收敛，且其和s ? u1 , rn ? un?1证明： S 2 n ? ( u1 ? u2 ) ? (u3 ? u4 ) ? ? ? (u2 n?1 ? u2 n )? u1 ? (u2 ? u3 ) ? (u4 ? u5 )? ? ? ( u2 n? 2 ? u2n?1 ) ? u2n5由前一式知{S2n}单调增加，由后一式知S2n &u1。由数列判敛的单调有界准则知:lim S 2 n 存在，记为S , 则S ? u1 .n? ?lim S 2 n?1 ? lim ( S 2 n ? u2 n?1 )? lim S 2 n ? lim u2 n?1 ? S n? ? n? ?n? ? n? ?所以lim S n ? S。n? ?rn ? un?1 ? un? 2 ? un? 3 ? ? 右端也是一交错级数，它也满足收敛的两个条件，于是有 rn ? un?16例 交错级数1 1 1 ( ?1) n?1 1 ? ? ? ? ?? ?? 2 3 4 n?收敛( ?1) n 更一般的结论：交错级 ? p 当P ? 0时收敛。 数 n? 2 n说明：单调减少不是交错级数( ?1) n?1 un ( un ? 0) ?n ?1 ?收敛的必要条件。7例1 考察级数( ?1)n n ? 1 的敛散性。 ? n n ?1?解：这是一个交错级数显然un ?而u ?u2 n2 n?1n?1 n?2 ? 2 ? n ( n ? 1) 2n?1 ? 0 (n ? ?) n( n ? 1)3 ? n 2 ( n ? 2) ? ?0 2 2 n ( n ? 1)所以单调减少。依莱布尼兹定理知 级数收敛8un单调减的研判，也可利用导数，具体做法如下： 令 f ( x) ? 则f ?( x ) ?x?1 ( x ? 1), xx 2 x?1 x2 ? x?1?x ? 2( x ? 1) 2x2? x?2 ? ?0 2 x ? 1 2 x ( x ? 1)所以f (x)在[1,+ ∞] 上单调减少，所以un =f (n) 单调减少。99.2.3、条件收敛与绝对收敛 下面讨论一般项级数 u1+u2 + u3+…+ un + …其中un为任意实数。 ? ? 1、定理 对于级数 ? un , 若级数? | un |收敛，1 n?1 证明：令 v n ? ( un ? un ), 显然有0≤vn≤| un |。 2 ?依正项级数的比较审敛法， 知? v n收敛， 进而知则级数? un 也收敛。?n ?1n ?1? 2v 收敛，n ?1 n?n ?1另一方面， un =2 vn－| ? n |，于是 u ? ? ? ? un ? ? (2v n ? un ) ? ? 2v n ? ? unn ?1 n ?1也收敛。10n ?1n ?1当? | un |收敛时，我们称任意项 级数n ?1???? u 绝对收敛。n ?1 n?我们称? un为条件收敛。 如果? un收敛， ? | un |发散， 而n ?1n ?1?n ?1例3( ?1) n ? n2 ? 1 n ?1?绝对收敛；( ?1) ? n n ?1?n条件收敛；11说明当? | un |发散时，我们一般不能 确定 ? un 也发散但是，如果我们是用比值法或根值法判定? | un |发散时，n ?1???n ?1?则? un 一定发散。n ?1n ?1这是因为这两种审敛法判定级数发散的依据是ρ&1，sin n? 例4 判别级数 ? 的收敛性。 2 n n ?1 ? sin n? sin n? 1 所以? 绝对收敛。 解： ? 2 2 n n2 n n ?1?此时un不趋于0 (n→∞)，不满足级数收敛的必要条件。121 1 n2 例5 判别 ? ( ?1) n (1 ? ) 的收敛性。 n 2 n ?1 解：这是一个交错级数，n?1 1 n e e | un | ? (1 ? ) ? ( n ? ? ), ?1 2 n 2 2 所以 lim un ? 0 该级数发散。 n? ? ? 1 n 例6 判断 ? ( ?1) ln( 1 ? ) 的敛散性。 n n ?1 1 1 解： un ? ln( 1 ? ) ~ ( n ? ? ) n nn所以原级数不绝对收敛。1 1 但 lim ln( 1 ? ) ? 0, 且{ln( 1 ? )}单调递减， n? ? n n所以原级数条件收敛。131 例7 讨论级数 ? n p 的敛散性。 n ?1 a n un ? 1 1 a nn p 1 解： lim ? lim n?1 ? ? p n? ? u n? ? a 1 |a| ( n ? 1) n (i) 当|a|&1时，原级数绝对收敛；(ii) 当|a|&1时，原级数发散；??1 (iii) 当a=1时，原级数变成 ? p 这是一p-级数， n ?1 n当p&1时该级数收敛，p≤1时该级数发散。 ? ( ?1) n 为交错级数， (iv) 当a=－1时，原级数变成 ? p n n ?1 当p&1时该级数绝对收敛， 当0&p≤1时级数条件收敛，当p≤0时级数发散。14级数第一次习题课 一、数项级数内容及要点（一）、 常数项级数的基本性质。（1）设常数 c ? 0 ，则 有相同的敛散性 （2）设有两个级数? ??un ?1 n?n ?与? cun ?1 n?n?un ?1?与??vn ?1若? un ? s, ? v n ? ? , 则? un ? vn ) ? s ? ? （ 若? un收敛 , ? v n发散 , 则? un ? v n )发散； （n ?1 n ?1 n ?115n ?1 ?n ?1 ?n ?1 ?若? un , ? v n均发散, 则? un ? v n )敛散性不确定。 （n ?1 n ?1 n ?1???（3）添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性。（4）设级数?un ?1?n收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和注：一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散； 一个级数加括号后所得新级数收敛，则原级数敛散性不确定。?（ ）级数 ? un收敛的必要条件： limun ? 0 5n ?1 n? ?注：级数收敛的必要条件常用判别级数发散.16（二）、 正项级数敛散性的判别法1、正项级数敛散性的判别程序：?un ?1?n? ? lim un ? 0 ?? ?n? ??un ?0比值法 根值法 ? ?1 ? ?1? n n ?1 nun0? u 发散n ?1 n?? u 发散 ? u 收敛n ?1?? ?1比较法的极限形式比较法的一般形式注：（1）比值法与根值法条件是充分但非必要； （2）凡涉及证明的命题不可用比值法与根值法 而只能用比较判别法。17? 2、任意项级数敛散性的判别程序： 比值法或根值法 ? un发散 n ?1 发散?un ?1?n? ? lim un ? 0 ?? ?n? ??un ?0?un ?1 ??n用正项级 数判别法 收敛un0? u 发散n ?1 n?? u 绝对收敛n ?1 n发散交错级数：莱布尼兹判 别法 收敛 ? ? un条件收敛 对un 进行处理；n ?1比较法 用定义, 性质 发散? u 发散n ?1 n?18二、典型例题 1 填空? n ?1(1) 若? a n收敛，则? a n 可能收敛也可能发散。2 n ?1? ??un ( 2) 已知lim ? 1， v n收敛，则? un ? n? ? v n ?1 n ?1 n ? ? an 2 绝对收敛 ( 3) 若? a n 收敛，则? 。 n ?1 n ?1 n ? sin n? 1 ( 4) ? ( ? ) 发散 。 n 2 n?1n n ?1 ? ( ?1) (5).级 数 ? ( p ? 0)， 当 p ? 1 时 ， 绝 对收 敛； 当 p n n ?1 p ? 1 时 ， 条 件收 敛 .19可能收敛也可 能发散。k?n (6) k ? 0,，则? ( ?1) n2 n ?1? n?条件收敛 。(7) 若? un收敛，则必收敛的级数 为（D ）n ?1( A)? (?1)n ?1?nun n( B)?un ?1?2 n(C )? un un ?1n ?1?( D)? (un ?1?n? un ?1 )20解：（1） 例如?n? 2?( ?1) n n?收敛，n1 ? n发散。 n ?2?对于(1) ，如果? n ?1?an ?1是正项级数，或? a n 绝对收敛， 则结论正确。因为an&1推出an2& an。( ?1) n 1 ? ( ?1) n ln n ( 2)例 lim ln n n n ? 1 ? lim ?1 n? ? n? ? n ( ?1) ln n但是( ?1) n 1 ? [ ln n ? n ]发散。 n? 2?21an 1 2 ( 3) | |? 2 ? a n , n n n ? ? ? 1 a 2 ? ? a n , ? 2 收敛， ? | ? | 收敛。 n ?1 n ?1 n n ?1 n k?n ? 2 k?n n ? 1, ? (6) ? lim ? n2 发散， n? ? 1 n ?1 n ? n k ? n 而交错级数? ( ?1) 收敛， 2 n n ?1原级数条件收敛 (7) (A),(B),(C)反例:?n? 2?( ?1) nn222 判断下列级数的敛散性1 (1)? 1 ? an n ?1( 3)? n tann ?1 ??( a ? 0)2 n n! ( 2)? n n ?1 n??2n?1( 4 )?n ?1?1 nn n 1n? ? n cos 3 ( 5) ? n 2 n ?12( 6 )???ln 10 n n ?1a (7)? s n ?1 n?n(a ? 0, s ? 0)(8)? n ? 1 (1 ? cos ) n n ?123?1 1 1 ? 1, 当a ? 1, lim ? n n n? ? 1 ? a n? ? 1 ? a 2 ?当a ? 1时, 原级数发散。 ? 1 1 1 当a ? 1, ? n ? ? n 收敛，原级数收敛。 n 1? a a n ?1 a ? 2 n n! ( 2)? n n ?1 nn?1 n un ? 1 2 ( n ? 1)! n lim ? lim[ ? n ] n?1 n? ? u n? ? ( n ? 1) 2 n! n n 2n 2 2 ? lim ? lim ? ?1 n n ? ? ( n ? 1) n? ? 1 n e (1 ? ) 级数收敛。 n1 (1)? 1 ? an n ?1 当a ? 1, lim?( a ? 0)24( 3)? n tann ?1??2 n?1( n ? 1) tan n? 2 un ?1 2 lim ? lim n? ? u n? ? ? n ? n tan ? lim ( n ? 1) nn? ???2n? 21 ? ?1 22 n?1级数收敛。( 4 )?n ?1?1 nn n2 n?1? lim n ? 1 ,n n? ?1 取v n ? , n25因调和级数发散, 据比较判别法, 原级数发散 .n? ? n cos 3 ; ( 5) ? 2n n ?12n? n cos 3 ? n , n un ? 令 vn ? n , 2n 2n 22v n ?1 n ? 1 2n n?1 1 ? lim ? lim n?1 ? ? li m ? ? 1, n? ?? v n? ?? 2 n n? ?? 2n 2 nn ? ? n 收 敛, n ?1 2?根据比较判别法，原级数收敛．261 1 因 n 充分大时 ? 10 , n ln n发散,?∴原级数发散 .an (7) ? s (a ? 0 , s ? 0) : 用比值判别法可知: n ?1 n(8)? n ? 1 (1 ? cos ) n ? n ?1 n ? 1 (1 ? cos ) ?2 n ? ? lim 3 n? ? 2 ∴原级数收敛 . 1/ n2s ? 1时收敛; a ? 1 时, 与 p 级数比较可知 ? s ? 1时发散. ?a ? 1 时收敛 ; a ? 1 时发散.273.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: ? sin n? 1 ? (1) ( ?1) n ? 1 n ? 1 ;?n ?1?( 3) ? sin(n? ?n? 2??1 n n)( 4)( ?1) ? n ? lnn n ?1? n( 5) ?n? 2( ?1)nn ? ( ?1) nsin n? 1 ?解： ) ?| u n |? (1?n?1?1?n?1??n ?1?1n?1收敛 , 故原级数绝对收敛 .28( n ? 1) ! ( 2) ? ( ?1) n?1 n n ?1? n因un ?1 ? unn? 2 1 n?1 n ? ? ? (1 ? ) n?1 n?1所以原级数绝对收敛 .29( 3) ? sin(n? ?n? 2?1)所给级数为交错级数。n n 1 n 解 a n ? (?1) sin n nsin 1 n n?当n→∞时，~1 n n??n? 2?1 n n收敛 ? ? sinn? 21 n n收敛 ?原级数绝对收敛301 1 解(4) ? ? , 而 n ? l nn n?1 ? n 发 散, n ?1??n ?1?? ( ?1) n 1 ?? 发 散, n ? ln n n?1 n ? ln n即原级数非绝对收敛． ? ( ?1) n 级 ? n ? lnn 是 交 错 数, 由莱布尼茨定理： n ?1 ln n ln x 1 ? lim ? lim ? lim ? 0, n ? ?? n x ? ?? x x ? ?? x 1 1 ? lim ? lim n ? 0, n? ?? n ? ln n n? ?? ln n 1? 1 n ? ? f ( x ) ? x ? ln x ( x ? 1), f ( x ) ? 1 ? x ? 0 ( x ? 1), 311 单 减, ? 在 (1,??) 上单增 即 , x ? lnx 1 故 当 n ? 1时单减 , n ? ln n 1 1 ? un ? ? ? un?1 ( n ? 1), n ? ln n (n ? 1) ? ln(n ? 1)所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛．32解(5)：这是一个交错级数，( ?1) n?n? 2?n ? ( ?1) n?1 n ? ( ?1) n?1 n?11 n?1发散，所以该级数不是绝对收敛的。1 n ? ( ?1) n ? 0 但un不是单调减少的：易知 un ?当n为偶数时， 1 un ? , un ? 1 ? n?11 n ? 1 ? ( ?1)n?1?1 nun & un+1；33当n为奇数时，un ?1 n?11, un ? 1 ?11 n ? 1 ? ( ?1)1 ? 1 4n?1?1 n? 21 2n ? 1 ?un & un+1。1 2n前2n项之和记为S2n，则S 2n ? ( 3 ? 2 )?( 5) ??? ()每个小括号内皆为负值，故S2n 是单调减少的，同 时又有 1 1 1 1 1 S 2n ? ? ?( ? )?( ? )?? 2 3 4 5 6 1 1 1 1 ?( ? )? ?? 2n ? 1 2n 2n ? 1 234所以{S2n}单调减且有下界，故 lim S 2 n 存在，记为S。n? ?又由于n? ?lim un ? 0n? ?? lim S 2 n?1 ? lim ( S 2 n ? u2 n?1 ) ? Sn? ?所以lim S n ? Sn? ?即原级数收敛。所以原级数为条件收敛。35求下列极限： 1 n 1 1 k ( 2) lim ? k (1 ? ) n? ? n k? k ?1 3 4解（1）：考察? n ?1n! (1) lim n? ? 2 ? 5 ? 8 ? ( 3n ? 1) 2所以? un收敛， lim un ? 0. ??n? ?un ?1 1 ? un , lim u ? 3 n? ? n ?1 n? 1 1 n2 解( 2)：考察级数? n (1 ? ) ? ? a n n n ?1 3 n ?1 1 1 n e n a 因为 lim (1 ? ) ? ? 1 n ? lim n? ? n? ? 3 nn 3 1 1 k2 此级数收敛 即 lim ? k (1 ? ) ? s n? ? k k ?1 3 n 1 1 1 k2 所以 lim ? k (1 ? ) ? 0 n? ? n k k ?1 3365 (1)设偶函数f (x)在x=0的某邻域二阶导数连续， ? 1 且 f (0)=1， 证明级数? [ f ( ) ? 1]绝对收敛。 n n ?1 证明：因为偶函数f (x)在x=0的某邻域有连续的二阶 导数， ?f ??(0) 1 ? 1? ? o( 2 ) 2 2n n 1 1 f( )?1 o( 2 ) 于是 f ??(0) f ??(0) n n lim ? lim ? ? n? ? n? ? 1 1 2 2 ? ? 1 n2 1n 2 ? ? f ( ) ? 1收敛 ? ? ( f ( ) ? 1)绝对收敛 n n n ?1 n ?11 1 f ??(0) 1 2 1 且f ( ) ? f (0) ? f ?(0) ? ? ? ( ) ? o( 2 ) n n 2 n n故f (0) ? 0，37( 2)设级数? (an ?1?n ?? a n ?1 )收敛，且? bn为收敛的n ?1?正项级数，证明 a n bn 绝对收敛。 ?证明 : ? (a n ? a n?1 )收敛, ??n ?1? lim s n ? lim (a1 ? a 0 ? a 2 ? a1 ? ?a n ? a n?1 )n? ? n? ?n ?1? lim (a n ? a 0 ) ? sn? ?? lim a n 存在， | a n |? M ?n? ??| a n bn |? M | bn |? ? a n bn 绝对收敛。n ?138( 3)设级数?? a ， b 为收敛的级数，a ?n ?1 n n ?1 n??n? c n ? bn ,证明? c n收敛。证:? 0 ? c n ? a n ? b n ? a n (n ? 1 , 2 , ?) , 则由题设? nn ?1? (bn ?1? a n ) 收敛(c n ? a n ) 收敛 ??? ? [( c n ? a n ) ? a n ] ? ? (c n ? a n ) ? ? a nn ?1 n ?1 ? n?1 ??n ?1收敛39
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级数加括号后收敛,能判断原级数收敛吗?正项级数加括号后收敛,那原级数收敛吗?这个括号到底影响什么?
第一问：不能确定是否收敛,例如：（1-1）+（1-1）+.+（1-1）,收敛为0,但是,1-1+1-1+1-.+1就不收敛,可能是1,也可能是0.第二问：能,对于正项级数加括号收敛,那么括号对正项级数是没影响的,级数去掉或增加若干项,不改变敛散性.
与《级数加括号后收敛,能判断原级数收敛吗?正项级数加括号后收敛,那原级数收敛吗?》相关的作业问题
　　状语后置概念：现代汉语中状语置于谓语之前,若置于谓语之后便是补语.但在文言文中,处于补语的成分往往要以状语来理解.　　状语后置有三种情况：　　1、用介词“于”组成的介宾短语在文言文中大都处在补语的位置,译成现代汉语时,除少数仍作补语外,大多数都要移到动词前作状语.　　例：青,取之于蓝,而青于蓝.（荀子《劝学》）　　
价层电子对确定后如2对电子,则中心原子为sp杂化,3对为sp2杂化,4对sp3杂化.5对sp3d杂化,6对sp3d2杂化.
设正项级数∑{n=1,∞}Un加括号后构成正项级数∑{k=1,∞}Vk （Vk为k个括号求和）Un位于第k个括号中,其中k=k(n)∑{n=1,∞}Un的前n项部分和为Sn∑{k=1,∞}Vk的前k项部分和为Ak∵正项级数∑{k=1,∞}Vk收敛,∴部分和数列{Ak}有界,设Ak≤M则Sn=U1+U2+...+Un≤V
可以.反证：若原级数发散,由于是正项级数,易得部分和序列趋于正无穷.加括号后级数的部分和序列是原级数部分和序列的子列,也趋于正无穷,这和加括号后级数收敛矛盾.
　　判别级数 　　　∑[1/(2n+1)+1/(2n+2)]的敛散性用不着柯西收敛准则,用比较判别法足矣：因　　　lim(n→∞)[1/(2n+1)+1/(2n+2)]/(1/n)　　= lim(n→∞)[1/(2+1/n)+1/(2+2/n)]　　= 1/2+1/2 = 1,而级数 ∑(1/n) 发散,据比较判别法知
答案选B,这个题主要就是看实际上电解的物质和后来加入的物质是不是一样.CuCl2溶液用惰性电极电解时,电解的实际上就是CuCl2,所以加入CuCl2可以使溶液变回原溶液,B中电解的是水,加入NaOH是肯定不行的,同理,C项和D项中电解的物质和加入的物质一样,所以都可以变回原溶液. 再问： B电解的是水为什么不可以加氢氧
他穿着一件兰色上衣和一顶太阳帽.（词语不搭配） 天空布满了乌云,阳光照得人睁不开眼睛.（前后矛盾）
A:名B:释C:益
C是绝对收敛D是条件收敛 再问： C是如何证明的？ 再答： |An|=1/n^2 级数1/n^2收敛 p=2>1再问： 错了，错了，，不好意思哈，，应该是B，，，答案是B，，，我不知道B怎么证明的！ 再答： 由莱布尼兹交错级数判别定理：1/(3n+1)递减趋于0，级数D条件收敛。再问： 那B怎么证？ 再答： B是绝对收
img class="ikqb_img" src="http://h./zhidao/wh%3D600%2C800/sign=b453c1f8bf7b6550820ef/0b7b05c9c8d9542c11dfa9eccedf.jpg"
一个分数,将分子加二并约分后为五分之三,将分子减二并约分后为三分之一,原分数是（7/15）,分数单位是（1/15）
中心对称图形指的是这样的图形,它上面的任一点关于对称中心的对称点仍在图形上.只要有一点例外,它就不是中心对称的了!
A1.the children some apples2.old peopleB1.empty strong2.TV watch3.great Oh4.read Did doC1.hobby2.dive3.fun4.watch5.street6.library
这个是收敛的,1/n^+a^＜1/n²＜1/n（n-1）=1/（n-1）-1/n,n≥2,所以0＜∑1/n^+a^＜1/（1+a^）+1-1/n,当n趋于无穷,有0＜∑1/n^+a^＜1/（1+a^）+1
1/2^n由等比级数可知收敛于1；而1/3n发散收敛级数加上发散级数为发散级数
很简单啊 再答：
都选A.经济数学团队帮你解答.请及时评价.
设这个两位数D=10a+b,（其中a为高位即十位,b为低位）.依题意,列方程如下1）10a+b+45=10b+a2）a+b=11解此方程组得a=3,b=8.结果D=38.高数级数测试题部分 (1)_百度文库
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高数级数测试题部分 (1)
&&高数级数测试题
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