线性代数化二次型化为标准型口诀为标准

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-06-15 22:21 标签： 二次型化为标准型
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线性代数计算题 求一个正交变换,将下列二次型化为标准f（X1,X2,X3)=2X1^2+2X2^+2X3^2+2X1X2+2X1X3+2X2X3
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f(x1,x2,x3) = (x1+x2)^2 + (x2+x3)^2 + (x1+x3)^2设y1 = x1 + x2y2 = x2 + x3y3 = x1 + x3然后用y表示x就行x1 = 1/2 （y3-y2 +y1）x2 = 1/2 (y1-y3+y2)x3 = 1/2 (y1-y2+y3)然后写成X = P YP就是所求正交变换
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二次型化标准形和规范形的区别和解答方法?
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标准形和规范形的区别规范形中平方项的系数都是 1 或 -1由标准形到规范形,只需将标准型中平方项的正系数改为 1,负系数改为 -1正系数项放在前 即可.
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线性代数 05.06 用配方法化二次型为标准形
§第五章第六节用配方法化二次型为标准形&
例1.用配方法化二次型f=x&2&1&+2x&2&2&+5x&2&3&+2x&1&x&2&+2x&1&x&3&+6x&2&x&3&化成标准形,并求出所用变换.&
f=x&2&1&+x&2&2&+x&2&3&+2x&1&x&2&+2x&1&x&3&+2x&2&x&3&+x&2&2&+4x&2&3&+4x&2&x&3&=(x&1&+x&2&+x&3&)&2&+x&2&2&+2x&2&(2x&3&)+(2x&3&)&2&=(x&1&+x&2&+x&3&)&2&+(x&2&+2x&3&)&2&&
令?&?&?&?&?&y&1&=x&1&+x&2&+x&3&y&2&=x&2&+x&3&y&3&=x&3&&&
即?&?&?&?&?&x&1&=y&1&-y&2&+y&3&x&2&=y&2&-2y&3&x&3&=y&3&&&
所用线性变换为:?&?&?&x&1&x&2&x&3&&?&?&?&=?&?&?&100&-110&1-21&?&?&?&?&?&?&y&1&y&2&y&3&&?&?&?&则该变换把f化为标准形:f=y&2&1&+y&2&2&&
例2.用配方法化二次型f=2x&1&x&2&+2x&1&x&3&-6x&2&x&3&变成标准形,并求出所用变换.&
解:在f中不含平方项,由于含有x&1&,x&2&的乘积项,故令&
?&?&?&?&?&x&1&=y&1&+y&2&x&2&=y&1&-y&2&x&3&=y&3&&&
代入得f=2y&2&1&-2y&2&2&-4y&1&y&3&+8y&2&y&3&=2y&2&1&-4y&1&y&3&+2y&2&3&-2y&2&2&+8y&2&y&3&-8y&2&3&+6y&2&3&=2(y&1&-y&3&)&2&-2(y&2&-2y&3&)&2&+6y&2&3&&
令?&?&?&?&?&z&1&=y&1&-y&3&z&2&=y&2&-2y&3&z&3&=y&3&&&
即?&?&?&?&?&y&1&=z&1&+z&3&y&2&=z&2&+2z&3&y&3&=z&3&&&
?&?&?&x&1&x&2&x&3&&?&?&?&=?&?&?&110&1-10&001&?&?&?&?&?&?&y&1&y&2&y&3&&?&?&?&和?&?&?&y&1&y&2&y&3&&?&?&?&=?&?&?&100&010&121&?&?&?&?&?&?&z&1&z&2&z&3&&?&?&?&所有的线性变换为:?&?&?&x&1&x&2&x&3&&?&?&?&=?&?&?&110&1-10&001&?&?&?&?&?&?&100&010&121&?&?&?&?&?&?&z&1&z&2&z&3&&?&?&?&=?&?&?&110&1-10&3-11&?&?&?&?&?&?&z&1&z&2&z&3&&?&?&?&则该变换把f化成标准形:f=2z&2&1&-2z&2&2&+6z&2&3&&
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线性代数化二次型为标准
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1的行列式等于0故变换不是可逆变换所以要拆开重配
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