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已知等比数列{an}的各项都是正数，前n项和为Sn，且a3=4，S4=s2+12，求：（1）首项a1及公比q的值；（2）若bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）由S4-S2=12，得a3+a4=12，则a4=8故q=a4a3=84=2，a1=a3q2=1（5分）（2）由（1）知：数列{an}的首项为1，公比为2的等比数列，an=2n-1，bn=no2n-1，∴Tn=b1+b2+b3+bn=1+2o2+3o22++no2n-12Tn=2+2o22+3o23++(n-1)o2n-1+no2nTn=(n-1)2n+1故数列数列{bn}的前项和Tn为（n-1）2n+1（12分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知等比数列{an}的各项都是正数，前n项和为Sn，且a3=4，S4=s2+1..”主要考查你对&&等比数列的定义及性质，数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等比数列的定义及性质数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。 数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
发现相似题
与“已知等比数列{an}的各项都是正数，前n项和为Sn，且a3=4，S4=s2+1..”考查相似的试题有：
8350067584422530895720578809408356641．已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（?UA）∩B=（　　）A．?B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜1}★★★☆☆2．将函数y=sin（2x+）的图象平移后所得的图象对应的函数为y=cos2x，则进行的平移是（　　）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位★★★☆☆3．已知f（x）=2-4x(x≥0)x2-4x(x＜0)，又α，β为锐角三角形的两内角，则（　　）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＜f（cosβ）C．f（sinα）＞f（sinβ）D．f（cosα）＞f（cosβ）☆☆☆☆☆4．已知，为两个非零向量，则下列命题不正确的是（　　）A．若|o|=||o||，则存在实数t0，使得=t0B．若存在实数t0，使得=t0，则|o|=||o||C．若|+|=||+||，则存在实数t0，使得=t0D．若存在实数t0，使得=t0，则|+|=||+||☆☆☆☆☆5．若函数f（x）满足，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（-1，1]上，g（x）=f（x）-mx-m有两个零点，则实数m的取值范围是（　　）A．B．C．D．★★★★★6．定义在R上的函数f（x）为奇函数，且f（x）关于x=1对称，且x∈（-1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（　　）A．1B．C．-1D．-☆☆☆☆☆7．已知a∈R，则“a≥0”是“函数f（x）=x2+|x-a|在（-∞，0]上是减函数”的（　　）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件☆☆☆☆☆8．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（　　）A．-4B．-6C．-8D．-10★★★★★9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn且满足S17＞0，S18＜0，则1a1，S2a2，…，S17a17中最大的项为（　　）A．6a6B．7a7C．8a8D．9a9★★☆☆☆10．已知函数f（x）=x|x-a|+2x，若存在a∈[0，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是（　　）A．（1，）B．（1，）C．（，）D．（1，）☆☆☆☆☆二、填空题（每小题4分，共28分）11．设f（x）=lgx+11+4lgx+11+8lgx，则=3．☆☆☆☆☆12．函数f（x）=sinωx+cosωx（x∈R），又f（α）=-2，f（β）=0，且|α-β|的最小值等于，则正数ω的值为1．★★★★★13．点E，F是正△ABC的边BC上的点，且BE=EF=FC，则tan∠EAF=313．☆☆☆☆☆14．若数列{an}，{bn}的通项公式分别是an=（-1）n+2012oa，bn=2+n+2013n，且an＜bn对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是[-2，）．☆☆☆☆☆15．已知=（2，1），=（-1，3）若⊥（-λ），则实数λ的值为5．☆☆☆☆☆16．设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=4x+2x+7，若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为a≤-8．☆☆☆☆☆17．定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x-3）的图象关于点（3，0）成中心对称图形，若实数s，t满足不等式f（s2-2s）≥-f（2t-t2），当1≤s≤4时，t2+s2-2s&的取值范围是[-，24]．★☆☆☆☆三、解答题（共72分）18．已知命题p：x1和x2是方程x2-mx-2=0的两个实根，不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1，1]恒成立；命题q：不等式ax2+2x-1＞0有解，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围．☆☆☆☆☆19．已知向量=（sin（A-B），），=（1，2sinB），且o=-sin2C，其中A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若，且S△ABC=，求边c的长．★☆☆☆☆20．如图所示，边长为a的等边△ABC的中心是G，直线MN经过G点与AB、AC分别交于M、N点，已知∠MGA=α（≤α≤）．（1）设S1、S2分别是△AGM、△AGN的面积，试用α表示S1、S2；（2）当线段MN绕G点旋转时，求y=12+22的最大值和最小值．☆☆☆☆☆21．设公比为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=8，S2=48，数列{bn}满足bn=4log2an．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求正整数m的值，使得mobm+1bm+2是数列{bn}中的项．★☆☆☆☆22．设a为实数，设函数2+1+x+1-x的最大值为g（a）．（Ⅰ）设t=，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；（Ⅱ）求g（a）；（Ⅲ）试求满足的所有实数a．★★★★★下载本试卷需要登录，并付出相应的优点。所需优点：普通用户4个，VIP用户3个推荐试卷
解析质量好解析质量中解析质量差已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，且0＜q＜1/2．（1）在数列{an}中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；（2）若a1=1，且对任意正整数k，ak-（aK+1+ak+2）仍是该数列中的某一项．（ⅰ）求公比q；（ⅱ）若bn=-logan+1（根号2+1），Sn=b1+b2+…+bn，Tn=S1+S2+…+Sn，试用S2011表示T2011．-乐乐题库
<meta name="description" content="已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，且0＜q＜1/2．（1）在数列{an}中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；（2）若a1=1，且对任意正整数k，ak-（aK+1+ak+2）仍是该数列中的某一项．（ⅰ）求公比q；（ⅱ）若bn=-logan+1（根号2+1），Sn=b1+b2+…+bn，Tn=S1+S2+…+Sn，试用S2011表示T2011．的分析和解答" />
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& 等差数列与等比数列的综合知识点 & “已知各项均为正数的等比数列{an}的公比...”习题详情
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已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，且0＜q＜12．（1）在数列{an}中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；（2）若a1=1，且对任意正整数k，ak-（aK+1+ak+2）仍是该数列中的某一项．（ⅰ）求公比q；（ⅱ）若bn=-log&an+1（√2+1），Sn=b1+b2+…+bn，Tn=S1+S2+…+Sn，试用S2011&表示T2011．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2011-徐州模拟
分析与解答
习题“已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，且0＜q＜1/2．（1）在数列{an}中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；（2）若a1=1，且对任意正整数k，ak-（aK+1+ak+2）仍是该数列中的某一项...”的分析与解答如下所示：
（1）由题意知数列{an}是递减正项数列，因此设ak、am、an（k＜m＜n）成等差数列，根据等差中项的定义列式并化简可得2qm-k=1+qn-k，结合公比0＜q＜12可得此方程没有实数根，故数列{an}中不存在三项成等差数列．（2））（i）化简得ak-（ak+1+ak+2）=a1qk-1[54-（q+12）2]，结合[54-（q+12）2]∈（14，1）讨论可得只有ak-（ak+1+ak+2）=ak+1，得到方程q2+2q-1=0解之得q=√2-1（舍负）；（ii）由等比数列的通项公式，结合对数运算性质得bn=1n，从而得到Sn=1+12+13+…+1n，进而得到Tn=1+（1+12）+（1+12+13）+…+（1+12+13+…+1n），对此式重新组合整理得Tn=（n+1）Sn-n，由此将n=2011代入即可得到用S2011&表示T2011的式子．
解：（1）根据题意，an=a1qn-1，其中0＜q＜12．∵an＞0，∴an+1＜an对任意n∈N+恒成立，设{an}中存在三项ak、am、an（k＜m＜n），满足成等差数列则2am=ak+an，即2qm-k=1+qn-k，由2qm-k＜1且1+qn-k＞1，可得上式不能成立．因此数列{an}中不存在三项，使其成等差数列．（2）（i）ak-（ak+1+ak+2）=a1qk-1（1-q-q2）=a1qk-1[54-（q+12）2]∵[54-（q+12）2]∈（14，1），∴ak-（aK+1+ak+2）＜ak＜ak-1＜…＜a2＜a1，且ak-（aK+1+ak+2）＞ak+2＞ak+3＞…因此，只有ak-（ak+1+ak+2）=ak+1，化简可得q2+2q-1=0解之得q=√2-1（舍负）；（ii）∵a1=1，q=√2-1，∴an=（√2-1）n-1，可得bn=-log&an+1（√2+1）=log√2n√2-1=1n，因此，Sn=b1+b2+…+bn=1+12+13+…+1n，Tn=S1+S2+…+Sn=1+（1+12）+（1+12+13）+…+（1+12+13+…+1n）=n+12（n-1）+13（n-2）+…+1n[n-（n-1）]=n（1+12+13+…+1n）-（12+23+…+n-1n）=nSn-[（1-12）+（1-13）+…+（1-1n）]=nSn-[（n-1）-（12+13+…+1n）]=nSn-[n-（1+12+13+…+1n）]=nSn-n+Sn=（n+1）Sn-n由此可得：T2011=2012S2011-2011．
本题给出公比小于12的正项等比数列，讨论它的某三项成等差数列，求数列的通项公式并依此解决数列{bn}的前n项和的问题．着重考查了等差数列、等比数列的通项公式与求和公式，以及数列与函数的综合等知识，属于中档题．
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已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，且0＜q＜1/2．（1）在数列{an}中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；（2）若a1=1，且对任意正整数k，ak-（aK+1+ak+2）仍是该数列...
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经过分析，习题“已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，且0＜q＜1/2．（1）在数列{an}中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；（2）若a1=1，且对任意正整数k，ak-（aK+1+ak+2）仍是该数列中的某一项...”主要考察你对“等差数列与等比数列的综合”
等考点的理解。
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等差数列与等比数列的综合
等差数列与等比数列的综合．
与“已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，且0＜q＜1/2．（1）在数列{an}中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；（2）若a1=1，且对任意正整数k，ak-（aK+1+ak+2）仍是该数列中的某一项...”相似的题目：
定义一种运算*，满足n*k=noλk-1（n、k∈N+，λ是非零实常数）．（1）对任意给定的k，设an=n*k(n=1，2，3，…)，求证：数列{an}是等差数列，并求k=2时，该数列的前10项和；（2）对任意给定的n，设bk=n*k(k=1，2，3，…)，求证：数列{bk}是等比数列，并求出此时该数列的前10项和；（3）设cn=n*n(n=1，2，3，…)，试求数列{cn}的前n项和．&&&&
已知数列{an}中，a1=1，an=2nn-1an-1+n（n≥2，n∈N*）．且bn=ann+λ为等比数列，（Ⅰ）求实数λ及数列{bn}、{an}的通项公式；（Ⅱ）若Sn为{an}的前n项和，求Sn；（Ⅲ）令cn=bn(bn-1)2n}前n项和为Tn．求证：对任意n∈N*，都有Tn＜3．&&&&
n2（n≥4）个正数排成n行n列：其中每一行的数由左至右成等差数列，每一列的数由上至下成等比数列，并且所有公比相等，已知a24=1，a42=1843=31611+a22+…+ann的值．&&&&
“已知各项均为正数的等比数列{an}的公比...”的最新评论
该知识点好题
1设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7 成公比为q的等比数列，a2，a4，a6 成公差为1的等差数列，则q的最小值是&&&&．
2在等差数列{an}中，若a10=0，则有等式：a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n＜19）成立，类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式&&&&成立．
3在等差数列{an}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项，公差及前n项和．
该知识点易错题
1已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．（1）若an=3n+1，是否存在m、k∈N*，有am+am+1=ak？说明理由；（2）找出所有数列{an}和{bn}，使对一切n∈N*，an+1an=bn，并说明理由；（3）若a1=5，d=4，b1=q=3，试确定所有的p，使数列{an}中存在某个连续p项的和是数列{bn}中的一项，请证明．
2等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．
3在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列．（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；（2）证明：1a1+b1+1a2+b2+…+1an+bn＜512．
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已知等差数列An满足A2=2,A5=8，设各项均为正数的等比数列Bn的前n项和为Tn，若b3=a3，T3=7，求Tn
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首先得出a3=4=b3 然后可知b1+b2+b3=7b1+b2=3设b2为X，则b1为X2/4解得X=2这样就可以算出公比为2求的Tn=2的n次方-1
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2的n次方减一
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