全等三角形证明题 证明全等三角形 相似三角形证明题 三角形证明题 全等三角形证明..
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三角形的证明问题
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3秒自动关闭窗口怎样证明对角线垂直的梯形,两腰与对角线形成的三角形面积相等?我作图出来知道是相等，就是不知如何证明_百度知道
怎样证明对角线垂直的梯形,两腰与对角线形成的三角形面积相等?我作图出来知道是相等，就是不知如何证明
怎样证明对角线垂直的梯形,两腰与对角线形成的三角形面积相等?我作图出来知道是相等，就是不知如何证明。
提问者采纳
请翻阅《走进华师一》2004年招生试题 AD//BC,AB垂直于AD,AC交BD于M 取内切圆圆心o，令其与BC切于F,AD于E,连OC,OD 则OD,CO分别为角CDA，角BCD的角平分线则角COD=90 角COF+DOE=90 DOE+EOD=90 COF=ODE 又CFO=OED=90 三角形COF相似于ODE CF*DE=R*R 作MN//AD交AB于N 则MN/AD=BN/AB=BN/2R MN/BC=AN/AB=AN/2R 则MN/AD+MN/BC=1 1/MN=1/AD+1/BC=(2R+DE+CF)/(R+DE)/(R+CF) (R+DE)*(R+CF)=R*R+R*(DE+CF)+R*R==(2R+DE+CF)*R 则MN=R S△ABM=S△CDM=R2 证毕
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出门在外也不愁等边三角形_百度百科
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等边三角形又称为三边相等的三角形其三个相等均为60°它是的一种等边也是最稳定的结构外文名equilateral triangle别&&&&称正三角形适用领域范围几何面积公式S=（√3/4）a?
可以利用的方式画出正三角形其作法相当简单先用尺画出一条任意长度的线段这条线段的长度决定等边三角形的边长再分别以线段二端点为线段为画圆二汇交于二点任选一和原来线段的两个画线段则这二条线段和原来线段即构成一正三角形(1)等边三角形是等边三角形的都相等且均为60°
(2)等边三角形每条边上的和互相重合
(3)等边三角形是它有三条对称轴是每条边上的中线高线 或角的平分线所在的直线
(4)等边三角形重合于一点称为等边三角形的中心四心合一
(5)等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)
(6)等边三角形拥有等腰三角形的一切性质因为等边三角形是特殊的等腰三角形(1)三边相等的三角形是等边三角形定义.
(2)三个内角都相等为60度的三角形是等边三角形.
(3)有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形.
(4) 两个内角为60度的三角形是等边三角形.
说明:可首先考虑三角形是
等边三角形的性质与判定理解
首先明确等边三角形定义三边相等的三角形叫做等边三角形也称正三角形
其次明确等边三角形与等腰三角形的关系等边三角形是特殊的等腰三角形等腰三角形不一定是等边三角形ABC三点的复数构成正三角形 等价于 A+wB+w2C=0
其中w=cos(2π/3)+isin(2π/3) 1+w+w2=0等边三角形与圆的有关计算公式
h=a sin60°=1/2 √3a
r=1/2 a cotπ/3)=1/2 a tanπ/6)=1/6 √3a
R=1/2 a cscπ/3)=1/2 a secπ/6)=1/3 √3a
S=1/4 na²cotπ/3)=1/4 √3a²
Sr= πr²=1/12πa&sup2表示面积
SR=πR²=1/3πa&sup2表示外接圆面积
例试证等边三角形的高和其边长的比为 √3/41
作等边三角形的一条高将等边三角形分为两个的直角三角形
设这个等边三角形的边长为a则其中一个一条直角边长为1/2a斜边为a即该等边三角形.由直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方得另一条直角边即该等边三角形的高为 √a^2-(1/2a)^2 = √3/4a) 即证.
由上可推导出等边三角形的
S=1/2ah= (1/2)a×[√3/4a)]=[√3)/4]×a?有关问题的证明
已知△ABC中∠A=60°且AB+AC=a
求证当三角形的周长最短时三角形是等边三角形
证明AC=a-AB
BC2=AB2+AC2-2AB*AC*cosA
BC2=AB2+AC2-AB*AC=AB2+(a-AB)2-AB*(a-AB)=3AB2-3a*AB+a2=3(AB-a/2)2+a2/4
所以当AB=a/2时BC=a/2最小
AC=a-a/2=a/2
这时周长为AB+AC+BC=a+BC=a+a/2=3a/2最短
AB=AC=BC=a/2
所以当周长最短时的三角形是正三角形
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等腰直角三角形是一种特殊的三角形具有所有三角形的性质稳定性两直角边相等 直角边夹亦直角45上中线角平分线垂线 等腰直角三角形斜边上的高为的R那么设的半径r为1则外接圆的半径R就为根号2加1所以r:R=1:根号2加1等腰直角三角形中的四条特殊的角平分线中线高中位线写&&&&作等腰Rt△边的个数3三内角的度数90°、45°、45°三内角和度数180°
1三和等于180°
2三角形的一个等于和它不的两个内角之和
3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
4三角形两边之和大于第三边两边之差小于第三边
5在同一个三角形内大边对大角大角对大边.1两底角等于45°
2两腰相等1三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心它是三角形的圆心它到各边的距离相等.
三角形的即外心是三角形三边的的交点它到三个顶点的距离相等.
2三角形的三条中线的交点叫三角形的它到每个顶点的等于它到对边中点的距离的2倍
3三角形的三条高的交点叫做三角形的
4三角形的平行于第三边且等于第三边的二分之一
注意①三角形的都在三角形的内部 .②垂心外心在三角形外部
③在三角形的边上直角三角形的垂心为直角外心为
中点④外心在内部等腰中的四条特殊的.
顶点与中点的连线平分三角形
顶点到对边垂足的连线
顶点到两边相等的点所构成的
任意两边中点的连线在三角形ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有a/SinA=b/SinB= c/SinC=2r (外接圆半a?=b^2+c^2-2bc*CosA,即: cosA=c^2+b^2-a^2/2cb
b^2=a^2+c^2-2ac*CosB,即: cosB=a^2+c^2-b^2/2ac
c^2=a^2+b^2-2ab*CosC,即: cosC=a^2+b^2-c^2/2ab如果直角三角形两直角边分别为AB斜边为C那么 A^2+B^2=C^2; 即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方如果三角形的三条边ABC满足A^2+B^2=C^2;还有变形AB=根号AC^2+BC^2如一条直角边是a另一条直角边是b如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形称作四个全等的直角三角形设它们的两条直角边长分别为ab 斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形使DEF在一条直线上. 过点C作AC的延长线交DF于点P.
∵ DEF在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°
∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
又∵ AB = BE = EG = GA = c
∴ ABEG是一个边长为c的正方形.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°
即 ∠CBD= 90°
又∵ ∠BDE = 90°∠BCP = 90°
BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 　同理HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S则
a^2+b^2=c^2作两个全等的直角三角形设它们的两条直角边长分别为abb&a 斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形使EAC三点在一条直线上.
过点Q作QP∥BC交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ垂足为M再过点
F作FN⊥PQ垂足为N.
∵ ∠BCA = 90°QP∥BC
∴ ∠MPC = 90°
∴ ∠BMP = 90°
∴ BCPM是一个矩形即∠MBC = 90°.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°
∴ ∠QBM = ∠ABC
又∵ ∠BMP = 90°∠BCA = 90°BQ = BA = c
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2作两个全等的直角三角形设它们的两条直角边长分别为abb&a 斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.
分别以CFAE为边长做FCJI和AEIG
∵EF=DF-DE=b-aEI=b
∴G,I,J在同一直线上
∵CJ=CF=aCB=CD=c
∠CJB = ∠CFD = 90°
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD
同理RtΔABG ≌ RtΔADE
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
∴∠ABG = ∠BCJ,
∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,
∴∠ABG +∠CBJ= 90°,
∵∠ABC= 90°,
∴G,B,I,J在同一直线上
a^2+b^2=c^2作三个边长分别为abc的三角形把它们拼成如图所示形状使HCB三点在一条直线上连结
BFCD. 过C作CL⊥DE
交AB于点M交DE于点L.
∵ AF = ACAB = AD
∠FAB = ∠GAD
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD
∵ ΔFAB的面积等于
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半
∴ 矩形ADLM的面积 =.
同理可证矩形MLEB的面积 =.
∵ 正方形ADEB的面积
= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
∴ 即a^2+b^2=c^2几何原本中的证明
在欧几里得的几何原本一书中提出由以下证明后可成立 设△ABC为一直角三角形其中A为直角从A点划一直线至对边使其垂直于对边上的此线把对边上的正方形一分为二其面积分别与其余两个正方形相等
在正式的证明中我们需要四个辅助定理如下
如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等则两三角形全等SAS 三角形面积是任一同底同高之面积的一半 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积据辅助定理3 证明的概念为把上方的两个正方形转换成两个同等面积的再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形
其证明如下
设△ABC为一直角三角形其直角为CAB 其边为BCAB和CA依序绘成四方形CBDEBAGF和ACIH 画出过点A之BDCE的此线将分别与BC和DE直角相交于KL 分别连接CFAD形成两个三角形BCFBDA ∠CAB和∠BAG都是直角因此CA 和 G 都是对应的同理可证BA和H ∠CBD和∠FBA皆为直角所以∠ABD等于∠FBC 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC所以△ABD 必须相等于△FBC 因为 A 与 K 和 L是线性对应的所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD 因为CA和G有共同线性所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC 因此BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2 同理可证四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC^2 把这两个结果相加 AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 由于BD=KLBD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形因此AB^2 + AC^2= BC^2 此证明是于欧几里得几何原本一书第1.47节所提出的如图1Rt△ABC中∠ABC=90°BD是斜边AC上的高通过证明三角形相似则有射影定理如下
1BD^2;=AD·DC 2AB^2;=AD·AC
3BC^2;=CD·AC
AB^2;+BC^2;=AD·AC+CD·AC =AD+CD)·AC=AC^2;
即 AB^2;+BC^2;=AC^2这就是的结论在这幅勾股圆方图中以弦为边长得到ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的每个直角三角形的面积为ab/2中间懂得小正方形边长为b-a则面积为b-a2于是便可得如下的式子
4×ab/2+b-a2=c2
c=a2+b2(1/2)
是中一颗光彩夺目的明珠被称为几何学的基石而且在和其他学科中也有着极为广泛的应用正因为这样世界上几个都已发现并且进行了广泛深入的研究因此有许多名称
我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一我国古代数学家称直角三角形为勾股形较短的直角边称为勾另一直角边称为股斜边称为弦所以勾股定理也称为勾股弦定理在公元前1000多年据记载约公元前1120年答周公曰故折矩以为句广三股修四径隅五既方之外半其一矩环而共盘得成三四五两矩共长二十有五是谓积矩因此勾股定理在我国又称商高定理在公元前7至6世纪一中国学者陈子曾经给出过任意直角三角形的三边关系即以日下为勾日高为股勾股各乘并开方除之得邪至日
在法国和比利时勾股定理又叫还有的国家称勾股定理为平方定理
在陈子后一二百年希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个因此世界上许多国家都称勾股定理为为了庆祝这一定理的发现杀了一百头牛酬谢供奉神灵因此这个定理又有人叫做百牛定理前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理日
1., 文物出版社,1980年3月, 据宋代嘉定六年本影印,1-5页
2. 陈良佐:的证明与的关系. 刊於汉学研究, 1989年第7卷第1期, 255-281页
3. 李国伟: 论曰数之法出于圆方章. 刊於第二届科学史研讨会汇刊, 台湾, 1991年7月 227-234页
4. 李继闵: 商高定理辨证. 刊於自然科学史研究,1993年第12卷第1期,29-41页
5. 曲安京: 商高赵爽与关於勾股定理的证明. 刊於数学传播20卷, 台湾, 1996年9月第3期, 20-27页达芬奇的证法
三张纸片其实是同一张纸把它撕开重新拼凑之后中间那个洞的面积前后仍然是一样的但是面积的表达式却不再相同让这两个形式不同的表达式相等就能得出一个新的关系式勾股定理所有勾股定理的都有这么个共同点观察纸片一因为要证的是勾股定理那么容易知道EB⊥CF又因为纸片的两边是对称的所以能够知道ABOF和CDEO都是然后需要知道的是角A'和角D'都是直角原因嘛可以看纸片一连结AD因为对称的缘故所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°那么很明显图三中角A'和角D'都是直角证明第一张纸片多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF^2+OE^2+OF·OE 第三张纸片中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'^2+C'D'·D'E'因为S1=S2 所以OF^2+OE^2+OF·OE=E'F'^2+C'D'·D'E'又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF所以OF·OE=C'D'·D'E' 则OF^2+OE^2=E'F'^2因为E'F'=EF所以OF^2+OE^2=EF^2勾股定理得证如果直角三角形两直角边分别为ab斜边为c那么 a^2+b^2=c^2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果三角形的三条边abc满足a^2+b^2=c^2如一条直角边是3一条直角边是4斜边就是3×3+4×4=X×XX=5那么这个三角形是直角三角形称三角形的三条中线交于一点这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍
上述交点叫做三角形的重心.三角形的三边的垂直平分线交于一点
这点叫做三角形的外心.三角形的三条高交于一点
这点叫做三角形的垂心.三角形的三内角平分线交于一点
这点叫做三角形的内心.三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点
这点叫做三角形的三角形有三个
三角形的重心外心垂心内心旁心称为
它们都是三角形的重要相关点三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半
三边关系定理
三角形任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边
三角形面积计算公式
S(面积)=a(边长)h(高)/2---三角形面积等于一边与这边上的高的积的一半Menelaus定理简称梅氏定理是由数学家梅涅劳斯首先证明的它指出如果一条直线与△ABC的三边ABBCCA或其延长线交于FDE点那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 或设XYZ分别在△ABC的BCCAAB所在直线上则XYZ共线的是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,
则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG
三式相乘得AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1
它的也成立若有三点FDE分别在的边ABBCCA或其延长线上且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1则FDE利用这个可以判断另外,有很多人会觉得书写这个公式十分烦琐,不看书根本记不住,下面从别人转来一些方法帮助书写
为了说明问题并给大家一个深刻印象我们假定图中的ABCDEF是六个旅游景点各景点之间有公路相连我们乘直升机飞到这些景点的上空然后选择其中的任意一个景点降落我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩最后回到出发点直升机就停在那里等待我们回去
我们不必考虑怎样走路程最短只要求必须游历了所有的景点只路过而不停留观赏的景点不能算是游历
例如直升机降落在A点我们从A点出发游历了其它五个字母所代表的景点后最终还要回到出发点A
另外还有一个要求就是同一直线上的三个景点必须连续游过之后才能变更到其它直线上的景点
从A点出发的旅游方案共有四种下面逐一说明
方案 ① 从A经过B不停留到F停留再返回B停留再到D停留之后经过B不停留到C停留再到E停留最后从E经过C不停留回到出发点A
按照这个方案可以写出关系式
AFFB*BDDC*CEEA=1
您知道应该怎样写的公式了吧
从A点出发的旅游方案还有
方案 ② 可以简记为A→B→F→D→E→C→A由此可写出以下公式
ABBF*FDDE*ECCA=1从A出发还可以向C方向走于是有
A→C→E→D→F→B→A由此可写出公式
ACCE*EDDF*FBBA=1 从A出发还有最后一个方案
A→E→C→D→B→F→A由此写出公式
AEEC*CDDB*BFFA=1
我们的直升机还可以选择在BCDEF任一点降落因此就有了图中的另外一些
值得注意的是有些中包含了四项而不是梅涅劳斯定理中的三项当直升机降落在B点时就会有四项而在C点和F点既会有三项的也会有四项的公式公式为四项时有的景点会游览了两次
不知道当年是否也是这样想的只是列出了一两个典型的公式给我们看看
是否可以说我们对梅涅劳斯定理有了更深刻的了解呢那些复杂的相除相乘的关系式不会再写错或是记不住吧
解:首先证明面积最大的是它
辅助线:将等腰RT△ACB,任意RT△AC'B都画出外接圆,AB为圆的直径.(其实这样做是为了满足斜边AB相等,且是RT△).再做CF⊥AB,C'F⊥AB.(蓝色辅助线)
∵在半圆中,弧AB上取一点做AB垂线,可知垂线最长的就是CO(F),即圆的半径.
∴S△=底×高÷2=CF×AB÷2.而CF所在△就是等腰RT△,所以在所有斜边相等的RT△中,面积最大的都是等腰RT三角形.
其次解:证明周长最大的还是它
辅助线:延长BC到E,使得CE=AC.延长BC'到D,使得C'D=C'A.连接DE,AD,AE.
∵AC'⊥BDAC⊥BE.C'D=C'A,AC=CE.
∴等腰RT△ACE,等腰RT△ADC'.
∴∠AEB=∠ADB=45°
又∵AE,BD为四边形ADEB的.
∴四边形ADEB可以内接在一个圆当中(这其实大家也可以用相似证明).
∴∠EDB=∠EAB.
∵AC垂直平分BE,且AC=CE=CB.
∴等腰RT△AEB.EA⊥AB.
∴∠EDB=∠EAB=90°
∴RT△EDB.
∵RT三角形当中斜边恒大于直角边.
又∵EB=AC+CB. BD=AC'+C'B.
∴AC+CB&AC'+C'B.
因为RT△ACB=AB+(AC+CB).
RT△AC'B周长=AB+(AC'+C'B).
∴等腰RT△ACB周长&任意RT△AC'B周长.斜边相等
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