请选择年级七年级八年级九年级请输入相应的习题集名称(选填)：
科目：初中数学
题型：阅读理解
29、阅读探究题：数学课上，张老师向大家介绍了等腰三角形的基本知识：有两条边相等的三角形叫等腰三角形，如图1所示：在△ABC中，若AB=AC，则△ABC为等腰三角形且有∠B=∠C．此时，张老师出示了问题：如图2，四边形ABCD是正方形（正方形的四边相等，四个角都是直角），点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：在线段AB上取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，在此基础上，请聪明的同学们作进一步的研究：（1）求出角∠AME的度数；（2）你能在小明的思路下证明结论吗？（3）小颖提出：如图3，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
科目：初中数学
来源：数学教研室
BDABDCACBDC
ACBDDCABCCE//AD
BAEBDDCABAE
CCE//DABAE
A. 　　　　　　
B. 　　　　&&&
ABCADAB5cmAC4cm
，求的长。
科目：初中数学
来源：2012年江西抚州市崇仁四中初三第二次月考数学试卷（带解析）
题型：解答题
问题背景&某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：①如图1，O是正三角形ABC的中心，∠MON分别与AB、BC交于点P,Q，若∠MON = 120°，则四边形OPBQ的面积等于三角形ABC面积的三分之一.②如图2，O是正方形ABCD的中心，∠MON分别与AB、BC交于点P,Q，若∠MON = 90°，则四边形OPBQ的面积等于正方形ABCD面积的四分之一.然后运用类比的思想提出了如下的命题：③如图3，O是正五边形ABCDE的中心，∠MON分别与AB、BC交于点P,Q，若∠MON = 72°，则四边形OPBQ的面积等于五边形ABCDE面积的五分之一.任务要求&（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；（说明：选①做对的得5分，选②做对的得4分，选③做对的得6分）（2）请你继续完成下面的探索：如图④，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，O是中心,∠MON分别与AB、BC交于点P,Q，若∠MON等于多少度时，则四边形OPBQ的面积等于正n边形ABCDE…面积的n分之一？（不要求证明）解：（1）我选 &&&&&&&&&&.
科目：初中数学
来源：2012年江西抚州市初三第二次月考数学试卷（解析版）
题型：解答题
问题背景& 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：
①如图1，O是正三角形ABC的中心，∠MON分别与AB、BC交于点P,Q，若∠MON = 120°，则四边形OPBQ的面积等于三角形ABC面积的三分之一.
②如图2，O是正方形ABCD的中心，∠MON分别与AB、BC交于点P,Q，若∠MON = 90°，则四边形OPBQ的面积等于正方形ABCD面积的四分之一.
然后运用类比的思想提出了如下的命题：
③如图3，O是正五边形ABCDE的中心，∠MON分别与AB、BC交于点P,Q，若∠MON = 72°，则四边形OPBQ的面积等于五边形ABCDE面积的五分之一.
（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；（说明：选①做对的得5分，选②做对的得4分，选③做对的得6分）
（2）请你继续完成下面的探索：
如图④，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，O是中心,∠MON分别与AB、BC交于点P,Q，若∠MON 等于多少度时，则四边形OPBQ的面积等于正n边形ABCDE…面积的n分之一？（不要求证明）
解：（1）我选 &&&&&&&&&&.
科目：初中数学
题型：解答题
阅读探究题：数学课上，张老师向大家介绍了等腰三角形的基本知识：有两条边相等的三角形叫等腰三角形，如图1所示：在△ABC中，若AB=AC，则△ABC为等腰三角形且有∠B=∠C．此时，张老师出示了问题：如图2，四边形ABCD是正方形（正方形的四边相等，四个角都是直角），点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：在线段AB上取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，在此基础上，请聪明的同学们作进一步的研究：（1）求出角∠AME的度数；（2）你能在小明的思路下证明结论吗？（3）小颖提出：如图3，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
吴老师30日19点直播线段的垂直平分线的性质
余老师30日20点直播unit5第二课时 Section A如图,在四边形ABCD中,AB等于BC,对角线BD平分角ABC,P是BD上一点,过点P作PM垂直AD,PN垂直CD,垂足分别为M、N（1）求证:角ADB等于角CDB;(2) 若△ADC等于90度,求证:四边形MPND是正方形._百度作业帮
如图,在四边形ABCD中,AB等于BC,对角线BD平分角ABC,P是BD上一点,过点P作PM垂直AD,PN垂直CD,垂足分别为M、N（1）求证:角ADB等于角CDB;(2) 若△ADC等于90度,求证:四边形MPND是正方形.
如图,在四边形ABCD中,AB等于BC,对角线BD平分角ABC,P是BD上一点,过点P作PM垂直AD,PN垂直CD,垂足分别为M、N（1）求证:角ADB等于角CDB;(2)&若△ADC等于90度,求证:四边形MPND是正方形.
,证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,在△ABD和△CBD中,AB＝CB ∠ABD＝∠CBD BD＝BD ,∴△ABD≌△CBD,∴∠ADB=∠CDB；（2）∵PM⊥AD,PN⊥CD,∠ADB=∠CDB,∴∠PMD=∠PND=90°,PM=PN,∵∠ADC=90°,∴四边形MPND是矩形,∵PM=PN,∴四边形MPND是正方形亲,记得给好评哦当前位置：&>&&>&
上传时间： 06:48:53&&来源：
如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F． （1）证明：PC=PE； （2）求∠CPE的度数； （3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
22．（9分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC=PE；
（2）求&CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当&ABC=120&时，连接CE，试线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
考点：&& 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．
分析：&& （1）先证出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；
（2）由△ABP≌△CBP，得&BAP=&BCP，进而得&DAP=&DCP，由PA=PC，得到&DAP=&E，&DCP=&E，最后&CPF=&EDF=90&得到结论；
（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．
解答：&& （1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，
&ABP=&CBP=45&，
在△ABP和△CBP中，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∴PC=PE；
（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴&BAP=&BCP，
∴&DAP=&DCP，
∴&DAP=&E，
∴&DCP=&E，
∵&CFP=&EFD（对顶角相等），
∴180&&PFC&PCF=180&&DFE&E，
即&CPF=&EDF=90&；
（3）在正方形ABCD中，AB=BC，&ABP=&CBP=45&，
在△ABP和△CBP中，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，&BAP=&BCP，
∴PC=PE，
∴&DAP=&DCP，
∴&DAP=&E，
∴&DCP=&E
∵&CFP=&EFD（对顶角相等），
∴180&&PFC&PCF=180&&DFE&E，
即&CPF=&EDF=180&&ADC=180&120&=60&，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE；
点评：&& 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出&ABP=&CBP是解题的关键．
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站长QQ：&&解：（1）；
（2）最短距离就等于DE的长度为5；
（3）找B关于AC对称点E，连DE延长交AC于P即可&&&&&&&
…………………12分
请选择年级七年级八年级九年级请输入相应的习题集名称(选填)：
科目：初中数学
唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题--将军饮马问题：如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？作法如下：如（1）图，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在AP的延长线上，取B关于河岸的对称点B′，连接AB′，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的．（1）观察发现再如（2）图，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短．作点B关于EF的对称点，恰好与点C重合，连接AC交EF于一点，则这点就是所求的点P，故BP+AP的最小值为．（2）实践运用如（3）图，已知⊙O的直径MN=1，点A在圆上，且∠AMN的度数为30°，点B是弧AN的中点，点P在直径MN上运动，求BP+AP的最小值．（3）拓展迁移如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．①求这条抛物线所对应的函数关系式；②在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M，使△ACM周长最小，请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值．（结果保留根号）
科目：初中数学
（1）观察发现：如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．做法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为．（2）实践运用：如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．（3）拓展延伸：如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．
科目：初中数学
唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题--将军饮马问题：如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？做法如下：如图1，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取B关于河岸的对称点B′，连接AB′，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的．（1）观察发现再如图2，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短．作点B关于EF的对称点，恰好与点C重合，连接AC交EF于一点，则这点就是所求的点P，故BP+AP的最小值为32．（2）实践运用如图3，已知⊙O的直径MN=1，点A在圆上，且∠AMN的度数为30°，点B是弧AN的中点，点P在直径MN上运动，求BP+AP的最小值．（3）拓展迁移如图4，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．①求这条抛物线所对应的函数关系式；②在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M，使△ACM周长最小，请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值．（结果保留根号）
科目：初中数学
（1）观察发现：如图1，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．做法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P再如图2，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为．（2）实践运用如图3，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，求PM+PN的最小值．（3）拓展延伸如图4，在四边形ABCD的对角线AC上找一点F，使∠AFB=∠AFD．保留作图痕迹，不必写出作法．
科目：初中数学
来源：学年江苏省无锡市华庄中学九年级（上）期末数学模拟试卷（解析版）
题型：解答题
唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题--将军饮马问题：如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？做法如下：如图1，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取B关于河岸的对称点B′，连接AB′，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的．（1）观察发现再如图2，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120&，点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短．作点B关于EF的对称点，恰好与点C重合，连接AC交EF于一点，则这点就是所求的点P，故BP+AP的最小值为______
吴老师30日19点直播线段的垂直平分线的性质
余老师30日20点直播unit5第二课时 Section A根据旋转得出,,,,求出,得到等边,推出,,求出即可求出;过点作,交的延长线于点,由,求出,,根据勾股定理即可求出答案;求出,根据勾股定理的逆定理求出,推出;过点作,交的延长线于点,求出,,关键勾股定理即可求出.
解:等边,,将绕点顺时针旋转得出,,,,,,,是等边三角形,,,,,,,,过点作,交的延长线于点,,,由勾股定理得:,,由勾股定理得:,过答案为:,.解:将绕点顺时针旋转得到,与类似:可得:,,,,,,由勾股定理得:,,,,,,,过点作,交的延长线于点;,,;在中,由勾股定理,得;,正方形边长为.答:的度数是,,正方形的边长是.
本题主要考查对勾股定理及逆定理,等边三角形的性质和判定,等腰三角形的性质,含度角的 直角三角形的性质,正方形的性质,旋转的性质等知识点的理解和掌握,正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键.
3886@@3@@@@等边三角形的性质@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3883@@3@@@@等腰三角形的性质@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3888@@3@@@@等边三角形的判定与性质@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3890@@3@@@@含30度角的直角三角形@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3892@@3@@@@勾股定理@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3894@@3@@@@勾股定理的逆定理@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3913@@3@@@@正方形的性质@@@@@@259@@Math@@Junior@@$259@@2@@@@四边形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3978@@3@@@@旋转的性质@@@@@@265@@Math@@Junior@@$265@@2@@@@图形的旋转@@@@@@53@@Math@@Junior@@$53@@1@@@@图形的变化@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
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第三大题，第8小题
求解答 学习搜索引擎 | (1)请阅读材料并填空:问题:如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PB=\sqrt{3},PC=1.求角BPC的度数和等边三角形ABC的边长.李明同学的思路是:将\Delta BPC绕点B顺时针旋转{{60}^{\circ }},画出旋转后的图形(如图2).连接P{P}'.根据李明同学的思路,进一步思考后可求得角BPC=___{{}^{\circ }},等边\Delta ABC的边长为 ___.(2)请你参考李明同学的思路,探究并解决下列问题:如图3,在正方形ABCD内有一点P,且PA=\sqrt{5},BP=\sqrt{2},PC=1.求角BPC的度数和正方形ABCD的边长.