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正方形ABCD边长是6厘米,长方形EBGF的宽EF为5厘米,求BE的长.（说一下解题思路,不要太深奥）老师出的卷子上就这点条件
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连接EC,可知三角形BEC的面积为正方形ABCD的面积的一半,同时又是长方形面积的一半,由此可以知道长方形和正方形的面积相等,正方形的面积是6*6=36平方厘米,那么长方形的长就是36÷5=7.2(平方厘米)
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条件少一个
扫描下载二维码题答要不内线：号封座密：场考：号考：级班：名姓勾；【证法1】（课本的证明）；abbaaacaacbcabbcbbbccaab；从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，所；a2?b2?4?112ab?c2?4?2ab，整；【证法2】（邹元治证明）；以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角；1的面积等于2ab.把这四个直角三角形拼成如图所；直线上，
勾股定理的证明 【证法1】（课本的证明）
ba a acaacb
abab做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即 a2?b2?4?112ab?c2?4?2ab， 整理得
a2?b2?c2. 【证法2】（邹元治证明） 以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形1的面积等于2ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,
∴ ∠AHE = ∠BEF. DbGaC∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, a∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. cbc∴ ∠HEF = 180oD90o= 90o. H∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 Fc正方形. 它的面积等于c2.
bca∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,
a∴ ∠HGD = ∠EHA. AEbB∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.
∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于?a?b?2. ∴ ?a?b?2?4?12ab?c2.
∴ a2?b2?c2. 【证法3】（赵爽证明） 弟1页/（共8页）
以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直1角三角形的面积等于2ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.
∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = bDa ,∠HEF = 90o. ∴ EFGH是一个边长为bDa的正方形，它的面积等于?b?a?2. 4?1ab??b?a?2?c2∴ 2.∴ a2?b2?c2. 【证法4】（1876年美国总统Garfield证明） 以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形1的面积等于2ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使CA、E、B三点在一条直线上.
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,
D∴ ∠ADE = ∠BEC. ccb∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, a∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.
∴ ∠DEC = 180oD90o= 90o. AbEaB∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形， 12它的面积等于2c.又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,∴ AD∥BC. 1是一个直角梯形，它的面积等于2?a?b?21.∴ 2?a?b?2?2?1ab?1c2∴ ABCD22. ∴ a2?b2?c2. 【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.
F∵ D、E、F在一条直线上,
ba且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED， GcE∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， P∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， bb∴ ∠BEG =180oD90o= 90o. cCc又∵ AB = BE = EG = GA = c， abHaD∴ ABEG是一个边长为c的正方形.
ac∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o. AB∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, 弟2页/（共8页） ∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o.
∠CBD= 90o.又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o，BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 a2?b2?S?2?12ab,c2?S?2?12ab,
【证法6】（项明达证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P.
E过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 baF作FN⊥PQ，垂足为N.
FcA∵ ∠BCA = 90o，QP∥BC， P∴ ∠MPC = 90o， b∵ BM⊥PQ， cMc∴ ∠BMP = 90o， NC∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90o. a∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o， QcB∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o， ∴ ∠QBM = ∠ABC，又∵ ∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明） 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 GBF、CD. 过C作CL⊥DE， 交AB于点M，交DE于点 HL.
aCK∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， Fbb∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， aM1AB∵ ΔFAB的面积等于2a2， ΔGAD的面积等于矩形ADLM c的面积的一半， ∴ 矩形ADLM的面积 =a2. DLcE第3页/共8页
同理可证，矩形MLEB的面积 =b2. ∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ∴ c2?a2?b2 ，即 a2?b2?c2. 【证法8】（利用相似三角形性质证明） 如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.
在ΔADC和ΔACB中， C∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o， ∠CAD = ∠BAC， ab∴
ΔADC ∽ ΔACB. AD∶AC = AC ∶AB， 即
AC2?AD?AB. ADcB同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 BC2?BD?AB. ∴ AC2?BC2??AD?DB??AB?AB2，即 a2?b2?c2. 【证法9】（杨作玫证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H. ∵ ∠BAD = 90o，∠PAC = 90o， GaD∴ ∠DAH = ∠BAC. c又∵ ∠DHA = 90o，∠BCA = 90o， b9c21AD = AB = c， F∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA. 8RHPA∴ DH = BC = a，AH = AC = b. T3456由作法可知， PBCA 是一个矩形， ccb所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB =
Q7CA = b，AP= a，从而PH = bDa.
EBaC∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA .
又∵ ∠DGT = 90o，∠DHF = 90o，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90 ∴ DGFH是一个边长为a的正方形.
∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GTDGF = bDa . ∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=bDa，下底BP= b，高FP=a +（bDa）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为 c2?S1?S2?S3?S4?S5
① 1∵ S8?S3?S4?2?b??b?a????a??b?a?? = b2?12ab， 第4页/共8页
S5?S8?S9，∴ 2S3?S4?b2?1ab?S82b2= ?S1?S8 .
② 222BCA = 90o，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得 AC2?AE?AD =?AB?BE??AB?BD? 把②代入①，得 c?S1?S2?b?S1?S8?S8?S9= b?S2?S9 = b?a. 222∴
a?b?c. 2c222
b?c?aaaE即， DBA【证法10】（李锐证明） 222∴ a?b?c. 设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分
别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. =?c?a??c?a? 22= c?a， Cab
用数字表示面积的编号（如图）. ∵ ∠TBE = ∠ABH = 90o， TbB∴ ∠TBH = ∠ABE. 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90o， 8D2CRBT = BE = b， 6∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE. H31aM∴ HT = AE = a. G7F∴ GH = GTDHT = bDa. 4EA5又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90o， c∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90o，Q ∴ ∠GHF = ∠DBC. ∵ DB = EBDED = bDa， ∠HGF = ∠BDC = 90o， ∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 S7?S2. 过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90o，可知 ∠ABE = ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌
RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 S8?S5.
由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE.
∵ ∠AQM + ∠FQM = 90o，∠BAE + ∠CAR = 90o，∠AQM = ∠BAE， ∴ ∠FQM = ∠CAR. 又∵
∠QMF = ∠ARC = 90o，QM = AR = a， ∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即S4?S6. ∵ c2?S221?S2?S3?S4?S5，a?S1?S6，b?S3?S7?S8， 又∵ S7?S2，S8?S5，S4?S6， ∴ a2?b2?S1?S6?S3?S7?S8=S1?S4?S3?S2?S5=c2， 即 a2?b2?c2. 【证法11】（利用切割线定理证明） 在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠弟5页/（共8页）
【证法12】（利用多列米定理证明） 在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有 AB?DC?AD?BC?AC?BD， ∵ AB = DC = c，AD = BC = a， AAC = BD = b， DbBc∴ AB2?BC2?AC2，即 c2?a2?b2， ∴ a2?b2?c2. accaFbrOrrE
AbCBaDC【证法13】（作直角三角形的内切圆证明） 在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r. ∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE， ∴ AC?BC?AB??AE?CE???BD?CD???AF?BF? = CE?CD= r + r = 2r, 即 a?b?c?2r，∴ a?b?2r?c.∴ ?a?b?2??2r?c?2， 1即 a2?b2?2ab?4?r2?rc??c2，∵ S?ABC?2ab，∴ 2ab?4S?ABC， 1又∵ S?ABC?S?AOB?S?Scr?1ar?1br1?a?b?c?r?BOC?AOC = 222 = 2 1= 2?2r?c?c?r = r2?rc， ∴ 4?r2?rc??4S?2?ABC，∴ 4r?rc??2ab，∴ a2?b2?2ab?2ab?c2，
∴ a2?b2?c2.【证法14】（利用反证法证明） 如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.
假设a2?b2?c2，即假设 AC2?BC2?AB2，则由 AB2?AB?AB=AB?AD?BD?=AB?AD?AB?BD 可知 AC2?AB?AD，或者 BC2?AB?BD. 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：弟6页/（共8页）
AB. 在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠A = ∠A， C∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则 ∠ADC≠∠ACB. ab在ΔCDB和ΔACB中， ∵ ∠B = ∠B， c∴ 若BD：BC≠BC：AB，则 ADB∠CDB≠∠ACB. 又∵ ∠ACB = 90o， ∴ ∠ADC≠90o，∠CDB≠90o. 这与作法CD⊥AB矛盾. 所以，AC2?BC2?AB2的假设不能成立. ∴ a2?b2?c2.
【证法15】（辛卜松证明）
A ba DAba1D a aba2aa2ab1c2abb
bb2abbbc1c 1a2ab2ab
BbaCBabC设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD.
把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 ?a?b?2?a2?b2?2ab；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 ?a?b?2?4?12ab?c2 =2ab?c2. ∴
a2?b2?2ab?2ab?c2,∴
【证法16】（陈杰证明） 设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. 在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC， 则 AD = c. ∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a， ∴ DM = EMDED = ?b?a?Da = b. 又∵ ∠CMD = 90o，CM = a， 第7页/共8页
∠AED = 90o， AE = b， ∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC. ∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c. ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180o， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90o， ∴ ∠ADC = 90o. ∴ 作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE
+ ∠FAD = 90o， ∴ ∠BAF=∠DAE. 连结FB，在ΔABF和ΔADE中， ∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE， ∴ ΔABF ≌ ΔADE. ∴ ∠AFB = ∠AED = 90o，BF = DE = a. ∴ 点B、F、G、H在一条直线上. 在RtΔABF和RtΔBCG中， ∵ AB = BC = c，BF = CG = a， ∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG. ∵ c2?S2?S3?S4?S5，
b2?S1?S2?S6，
a2?S3?S7，
S1?S5?S4?S6?S7， ∴ a2?b2?S3?S7?S1?S2?S6 =S2?S3?S1??S6?S7? =S2?S3?S4?S5 =c2 ∴
a2?b2?c2. Bc54cAbFaCbc2G31ac7aEbD6HaM第8页/共8页
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＞＞＞在如图中，正方形ABCD的边长是4厘米，E、F分别是边AB和BC的中点，..
在如图中，正方形ABCD的边长是4厘米，E、F分别是边AB和BC的中点，求四边形BFGE的面积．
题型：解答题难度：中档来源：不详
根据题干分析可得：四边形BEGF的面积就是图中正方形1的面积：4×4÷5=3.2（平方厘米），答：四边形BFGE的面积是3.2平方厘米．
马上分享给同学
据魔方格专家权威分析，试题“在如图中，正方形ABCD的边长是4厘米，E、F分别是边AB和BC的中点，..”主要考查你对&&组合图形的面积&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
组合图形的面积
把已知图形分割或添补成三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形中任意一个或一个以上的图形，然后利用这些图形的面积进行相应的加或减。
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2亿+学生的选择
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2亿+学生的选择
如图,正方形ABCD的边长是5厘米,点E,F分别是AB,BC的中点,求BEGF?
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因为：点E、F分别是AB和BC的中点,正方形ABCD的边长是5厘米所以：BE=CF=2.5cm 又因为：BC=CD=5,角B=角DCF=90°所以三角形EBC全等三角形FCD 所以角CEB=角DFC又因为角ECB+角CEB=90°所以角DFC+角CEB=90°所以EG垂直DF 根据三角形CGF与CBE相似得出GF/EB=CF/CE且面积比=（CF/CE）的平方=1/5S三角形EBC=(1/2)*BC*BE=6.25所以S（BEGF)=(1-(1/5))*6.25=5(平方厘米)有用就最佳吧 3Q~
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