高数极限定义---极限

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-08-02 12:51 标签： 高数求极限方法总结
高等数学求极限的14种方法
一、极限的定义
1. 极限的保号性很重要：设
（i ）若A &0，则有δ&0，使得当0&|x -x 0|&δ时，f (x ) &0； （ii ）若有δ&0, 使得当0&|x -x 0|&δ时，f (x ) ≥0, 则A ≥0。
限是否存在在：
f (x ) =A ，
a 的 （i ）数列{x n }
（ii ）f (x ) x →∞
f (x ) = (iv)单调有界准则
（vi ）柯西收必要条件是：
?ε&0, ?1. 2. 洛必达（L ’
x 趋近告诉f （x ）、g （x ）, 没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”, 并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
”“”时候直接用 0∞
(ii)“0?∞”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通
-项之后，就能变成(i)中的形式了。即f (x ) g (x ) =f (x ) 或f (x ) g (x ) =g (x ) ；g (x ) f (x )
f (x ) -g (x ) =11g (x ) f (x ) f (x ) g (x )
(iii)“0”“1”“∞”对于幂指函数, 方法主要是取指数还取对数的方法，即这样就能把幂上的函数移下来了，变成“0?∞”型未定式。
f (x ) g (x ) =e
g (x ) ln f (x )
3. 泰勒公式(含有e x 的时候，含有正余弦的加减的时候）
x 2x n e θx
e =1+x ++ ++x n +1 ；
2! n ! (n +1)!
x 3x 5x 2m +1cos θx 2m +3m
sin x =x -+- +(-1) +(-1) m +1x
3! 5! (2m +1)! (2m +3)!
2m x 2x 4cos θx 2m +2m x
+- +(-1) +(-1) m +1x 2! 4! (2m )! (2m +2)! n
x 2x 3x n +1n -1x n
4. 5. 6. 1）设a &b &c &0，
x n =n →∞
（2）求lim ?12+12+ +12?
(n +1) (2n ) ?n →∞?n
解：由0&1+2
+ +&2+2+ +2=，以及22
n (n +1) (2n ) n n n
=0可知，原式=0 n
n →∞?n +1
n ++ =1&++ +&++ =n n n n +2n 2+1n 2+n n 2+n n 2+n n 2+n n 2+n
7. 数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q 绝对值要小于1）。例如：
=1得，原式=1
lim (1+2x +3x
+ +nx n -1
(|x |&1) 。提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和。
8. 数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如：
1?2+2?3+ +n (n +1) ??lim
1-2+2-3+ +-
??=lim ?1-=1 ? n +1) ?n →∞?n +1) ??
9. 利用x x 与x n +1极限相同求极限。例如：
a 1=2, a n +1=2+1，且已知a n 存在，求该极限值。 lim
x k &x k +1&2。所以，
{A 2-A -2=0。
（i 11. n 快于n ！,n ！快12. 换元法。这是一种技巧，对一道题目而言，不一定就只需要换元，但是换元会夹杂其中。例如：求极限
arccos x -
。解：设t =arccos x -π, 则x →0时，t →0, 且x =cos(t +π) =-sin t 。
22sin 2x 2x
arccos x -
arccos x -
13．利用定积分求数列极限。例如：求极限lim ?=n ，所以++ + ?。由于
n +i n +2n +n ?n →∞?n +11+n
?? ?1 ?++ +=+ ==ln 2
?lim lim ?1n ?n 1x n +2n +n ?n →∞ n →∞?n +11+1+ ?
14. 利用导数的定义求“0”型未定式极限。一般都是x →0时候，分子上是“f (a +x ) -f (a ) ”的形式，看见了这
种形式要注意记得利用导数的定义。（当题目中告诉你f （a ）=m 告诉函数在具体某一点的导数值时，基本上
就是暗示一定要用导数定义）
f (a ) &0, f (a ) 存在，求lim
f a +?? n ??
lim n →∞503 Service Temporarily Unavailable
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版权所有不良信息举报电话:《高等数学》极限运算技巧
要】《高等数学》教学中对于极限部分的要求很高，这主要是因为其特殊的地位决定的。然而极限部分绝大部分的运算令很多从中学进入高校的学生感到困窘。本文立足教材的基本概念阐述，着重介绍极限运算过程中极具技巧的解决思路。希望以此文能对学习者有所帮助。
【关键词】高等数学 极限 技巧
《高等数学》极限运算技巧
《高等数学》的极限与连续是前几章的内容，对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段。
&&&&一，极限的概念
从概念上来讲的话，我们首先要掌握逼近的思想，所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势（这种变化趋势是具有唯一性），那么函数的应变量同时具有一种趋势，而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性。通俗的来讲，函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值，我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限！
&&&从数学式子上来讲，逼近是指函数的变化，表示为。这个问题不再赘述，大家可以参考教科书上的介绍。
二，极限的运算技巧
&我在上课时，为了让学生好好参照我的结论，我夸过这样一个海口，我说，只要你认真的记住这些内容，高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决。现在想来这不是什么海口，数学再难也是基本的内容，基本的方法，关键是技巧性。我记得blog中我做过一道极限题，当时有网友惊呼说太讨巧了！其实不是讨巧，是有规律可循的！今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助!
&我们看到一道数学题的时候，首先是审题，做极限题，首先是看它的基本形式，是属于什么形式采用什么方法。这基本上时可以直接套用的。
&& 1，连续函数的极限
&这个我不细说，两句话，首先看是不是连续函数，是连续函数的直接带入自变量。
&& 2，不定型
&我相信所有学习者都很清楚不定型的重要性，确实。那么下面详细说明一些注意点以及技巧。
&第一，所有的含有无穷小的，首先要想到等价无穷小代换，因为这是最能简化运算的。等价代换的公式主要有六个：
需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的，即：在含有加减运算的式子中不能直接代换，在部分式子的乘除因子也不能直接代换，那么如果一般方法解决不了问题的话，必须要等价代换的时候，必须拆项运算，不过，需要说明，拆项的时候要小心，必须要保证拆开的每一项极限都存在。
此外等价无穷小代换的使用，可以变通一些其他形式，比如：等等。特别强调在运算的之前，检验形式，是无穷小的形式才能等价代换。
当然在一些无穷大的式子中也可以去转化代换，即无穷大的倒数是无穷小。这需要变通的看问题。
在无穷小的运算中，洛必答法则也是一种很重要的方法，但是洛必答法则适用条件比较单一，就是无穷小比无穷小。比较常见的采用洛必答法则的是无穷小乘无穷大的情况。(特别说明无穷小乘无穷大可以改写为无穷小比无穷小或者无穷大比无穷大的形式，这根据做题的需要来进行）。
第二，在含有∞的极限式中，一般可分为下面几种情况：
（1），“∞/∞ ”形式
如果是幂函数形式的（包含幂函数四则运算形式），可以找高次项，提出高次项，这样其他一切项就都是无穷小了，只有高次项是常数。比如：
，这道题中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他项都是“0”，原来的x都是常数1了。当然如果分式形式中，只有分子中含有高次项，那么该极限式极限不存在（是无穷大），如果只有分母中含有高次项，那么该极限式极限为0，如果分子分母都含有高次项，我们可以直接去看高次项的系数，基本原理其实就是上面所说的提高次项。比如上面的例子，可以直接写1/2。
如果不是纯幂函数形式，无法用提高次项的方法（提高次项是优先使用的方法），使用洛必达也是一种很好的方法。需要强调的是洛必达是一种解决“∞/∞
”的基本方法，它的严格限制形式只有这两种，所以比较好观察。但是多数时候我们优先采用其他的方法来解决，这主要是考虑运算量的问题。
（2），“∞-∞ ”形式
“ ∞-∞”形式不能直接运算，需要转换形式，即转换成“∞/∞ ”或“0/0
”的形式，基本解法同上。比如：
这道题是转换形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次项解。
这也是需要转换的一种基本形式。因为无穷大与无穷小之间的倒数关系，所以这种转换时比较简单也是比较容易解决的。转换之后的形式也是“∞/∞
”或“0/0 ”的形式。
这种形式的解决思路主要有两种。
第一种是极限公式，这种形式也是比较直观的。比如： 这道题的基本接替思路是，检验形式是“
”，然后选用公式，再凑出公式的形式，最后直接套用公式。
第二种是取对数消指数。简单来说，“
”形式指数的存在是我们解题的主要困难。那么我们直接消掉指数就可以采用其他方法来解决了。比如上面那道题用取对数消指数的方法来解，是这样的：
可以看出尽管思路切入点不一样，但是这两种方法有异曲同工之妙。
三，极限运算思维的培养
极限运算考察的是一种基本能力，所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使学习事半功倍。而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义。如何培养，一方面要立足概念，另一方面则需要在具体的运算中体会，多做题多总结。
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