不定积分计算器问题

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一个典型不定积分问题的多解与巧解.pdf 3页
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高等教学研 究
Vo1．11，No．6
STUDIESIN Ct)LLEGE MATHEMATICS
Nov．，2008
个典型不定积分问题的多解与巧解
(淮海工学院理学院 江苏连云港 222005)
对一个典型不定积分问题进行全方位多角度分析 ，采用发散思维方法，讨论三种变形总体思路和多种
解法，即用三角代换将被积函数转化为三角有理(正、余弦)类 ，或利用凑微分法、“拆微分法”进行变形，或利用初等变
形法、幂式换元法将其转化为另一种幂无理类 ，甚至于幂有理类．其中 “拆微分法”能避开烦琐变形，比较简单直接．
不定积分 ；变形 ；思路 ；解法；拆微分法．
中图分类号
-'1HⅢ 求不定积分j =
以上习题经常被同学们问到．为开阔视野，增强发散思维能力 ，提高解题能力，本文给出该习题
的多种具体的变形思路，并把大部分解法及巧解汇集于此，供大家参考．
1 被积函数含有 _=_ 。可利用三角代换将其转化5&J三角函数有理类
令 si眦∈[一号，一)u(一手，-一g]，则j
一jcostdt．
1．1 利用正、余弦函数在积分中的转换．
d—lfd+÷．『 dc一
nI1十sin2fI+c= 1arcsinz+ 11nIz+ 、／T_
1．2 三角有理(iE、余弦)类可转化为三角有理(切、割)类．
将原式经过变换
— sintt后 ，被积函数的形式记为 g()，则有
)一 cost(cost- sint)
号(Se+1--tan2f)．
c。s[(H7&／)一号
@sin(t+车) 一 1c。t(￡+7l&)+1
由上三种函数形式都很容易求得一个原函数．
1．3 三角有理类可利用万能代换法转化为幂有理类．
令 一tan-6-(一7r& ￡& )]，贝4
* 收稿 日期；2008一O1一lO．修改 日期：
第 ll卷第 6期
秦北波，谭飞 ：一个典型不定积分 问题 的多解与巧解
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一类不定积分问题的一题多解
我们从一题多解的角度对有理函数和可化成有理函数的不定积分的解题方法做一定探讨.
作者单位：
郑州大学西亚斯国际学院 河南郑州 450000
年，卷(期)：
在线出版日期：
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求具体分析过程。。。7，8，9题。
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好久不做了，不知从何入手啊，可能题并不难。。。但是真心不会做了。。。
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高数 不定积分问题
搞不懂左边怎么得到右边的，不是用分部积分法吗？
1//2a^2这个是怎么得到的，脑袋进入死胡同了。。
求解答。。。
这个公式是用简单积分(直接可积出结果)去分部积分出复杂积分
解：∫[1/(u²+a²)]du
=u/(u²+a²)-∫ud[1/(u²+a²)]
=u/(u²+a²)-∫u[-2u/(u²+a²)²]du
=u/(u²+a²)+2∫[u²/(u²+a²)²]du
=u/(u²+a²)+2∫[(u²+a²)-a²]du/(u²+a²)²
=u/(u²+a²)+2∫[1/(u²+a²)]du-2a²∫[1/(u²+a²)²]du
∫[1/(u²+a²)²]du=(1/2a²){u/(u²+a²)+∫[1/(u²+a²)]du}
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