高数导数及其应用测试题应用

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-07-14 07:00 标签： 高中数学公式大全
走进高数一之导数理论整理
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走进高数一之导数理论整理
接上期整理了数一的极限理论知识，这期整理导数的理论知识。一、函数的连续性1.连续函数的性质◇局部有界性◇局部保号性◇四则运算法则◇若f在x0连续，g在u0=f(x0)连续，则g(f(x))在x0连续◇有界性定理（适用于闭区间）（用局部有界性与有限覆盖定理证明）◇最大最小值定理（适用于闭区间）（用有界性定理和确界原理证明）◇根的存在定理（适用于闭区间）（用局部保号性和区间套定理证明）◇介值性定理（适用于闭区间）（用根的存在定理证明）◇一致连续性定理（用有限覆盖定理证明）二、导数和微分1.导数的概念◇费马定理（可导函数极值的必要条件）（用连续函数局部保号性证明）◇导函数的介值定理（用最大最小值定理和费马定理证明）2.求导法则◇四则运算法则◇反函数的导数◇复合函数的导数及其引理◇参变量函数的导数◇高阶导数3.微分◇可微可导，且微分AΔx中的A等于导数（用有限增量公式证明）◇微分运算法则（由导数运算法则推出）◇高阶微分◇一阶微分形式的不变性 / 高阶微分不具有形式不变性4.微分中值定理◇罗尔中值定理（用连续函数最大最小值定理与费马定理证明）◇拉格朗日中值定理（用罗尔中值定理证明）◇导数极限定理（用拉格朗日中值定理证明）◇函数（严格）单调递增（减）的充要条件（用拉格朗日中值定理证明）◇柯西中值定理（用罗尔中值定理证明）◇洛必达法则（用柯西中值定理证明）5.泰勒公式◇佩亚诺余项（用洛必达法则证明）◇拉格朗日余项（泰勒定理）（用柯西中值定理证明）◇积分型余项（用推广的定积分分部积分法证明）◇柯西型余项（对积分型余项使用积分第一中值定理得）6.函数的极值◇极值的第三充分条件：设f在x0某邻域内存在n-1阶导函数，在x0处可导，且f(k)(x0)=0 (k=1,2,...,n-1)，f(n)(x0)≠0，则：(i) 当n为偶数时，f在x0取极值，且当f(n)(x0) ＜0时取极大值，当f(n)(x0) ＞0时取极小值；(ii) 当n为奇数时，f在x0处不取极值（在x0处用n阶泰勒公式（佩亚诺余项）证明，极值第二充分条件可作为其推论）7.凸函数的性质◇充要条件：对I上的任意三点x1＜x2＜x3，总有(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)≤(f(x3)-f(x2))/(x3-x2)◇充要条件：对I上的任意三点x1＜x2＜x3，总有(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)≤(f(x3)-f(x1))/(x3-x1)≤(f(x3)-f(x2))/(x3-x2)◇充要条件：f’为I上的增函数（用上两条（引理）证）◇充要条件：对I上的任意两点x1、x2，f(x2) ≥ f(x1)+f’(x1)(x2- x1)（用拉格朗日中值定理与上一条定理证）◇Jensen不等式（用数学归纳法证）
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