第十届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考答案87
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第十届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考答案87
５８；数学通报２００７年第４６卷第５期；第十届北京高中数学知识应用竞赛；决赛试题及参考答案；１．（满分１４分）北京与南京地面距离大约９３０ｋ；眼睛与舷窗的视线距离为３０锄．请你根据这些信；息估算出飞机距地面的高度？；设北京至南京的飞行是；匀速的，并且乘客俯瞰地面的视线近似地垂直于地面．；ＡＢ为舷窗的宽度，于是脚为乘；客的眼睛与舷窗的距离，历为飞机在１分钟内飞
５８数学通报２００７年第４６卷第５期第十届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考答案１．（满分１４分）北京与南京地面距离大约９３０ｋｉｎ．民航飞机飞行的空中时间大约９０分钟．飞机升空后，一位乘客从飞机的舷窗俯看地面的景物，他发现地面上的物体大约要用１分钟的时间从舷窗中移过．已知飞机舷窗的宽度为２５ｃｉｎ，乘客看地面时眼睛与舷窗的视线距离为３０锄．请你根据这些信息估算出飞机距地面的高度？解设北京至南京的飞行是匀速的，并且乘客俯瞰地面的视线近似地垂直于地面．根据已知数据，因为飞机在９０分钟内飞行９３０ｋｍ（即９３００００００ｃｍ），可算出飞行的平均速度为１０３３３３３ｃｍ／分钟，再根据假设，可得右图，在ＡＭＥＦ中，ＭＥ＝ＭＦ，ＡＢ／／ＥＦ，ＭＰ是ＡＭＡＢ的高，ＭＱ是ＡＭＥＦ的高，ＡＢ为舷窗的宽度，于是脚为乘ＥＱＦ客的眼睛与舷窗的距离，历为飞机在１分钟内飞行的地面距离．有器一磊御Ｍ３０Ｑ＝１１０３３广３３３，得ＭＱ一１２３９９９９．６ａｍ≈１２．４ｋｉｎ．答：飞机距地面的高度约为１２．４ｋｍ．２．（满分１４分）某工程队共有６００人，要建造一段５０００米的高速公路，工程需要把６００人分成两组，一组的任务是完成一段２０００米的软土地带，另一组的任务是完成剩下的３０００米的硬土地带，据测算，软、硬土地每米的工程量分别为５０工和３０工，问如何安排两组的人数，才能使全队筑路工期最短？解设在软土地带工作的人数为ｚ，则在硬土地带工作的人数为６００―ｚ，在软土地带筑路时间为厂（ｚ）一５０×２０００－｝－３ｃ；在硬土地带筑路时问为ｇ（ｚ）＝３０Ｘ３０００＋（６００―ｚ），其中ｚ是１到６００之间的整数．万　方数据全队筑路所需时间为：，、ｆ厂（ｚ），当厂（ｚ）≥ｇ（ｚ）Ｉｇ（ｚ），当ｇ（ｚ）＞厂（ｚ），（ｚ）在（Ｏ，６００）上是减函数；ｇ（ｚ）在（Ｏ，６００）上是增函数．求，（ｚ）一ｇ（ｚ）的解，即５０×２０００＋－ｘ一３０×３０００－｝－（６００一ｚ），解为Ｘｏ≈３１５．８．ｆ―５０Ｘ―２０００，ｚ∈（ｏ，３１５．８）Ｚ＇…ｖ，●ｕ，￡（ｚ）＝＜Ｊ―３０【一ｚ”【“’￡（ｚ）在（ｏ，Ｘｏ）上递减，在（Ｘｏ，６００）上递增；故知Ｘｏ是￡（ｚ）的最小值点．但３１５．８不是整数，于是计算ｔ（３１５）和ｔ（３１６），其中较小数为所求．经计算，ｔ（３１５）一３１７．４６，ｔ（３１６）＝３１６．９０．于是可知：当安排３１６人到软土地带工作，２８４人到硬土地带工作时，可以使全队筑路工期最短．３．（满分１８分）电视台在暑假进行了一次青年人收视电视节目偏好的调查．得到的数据如下：他们当中３人喜欢在平日（非周末）看早期的电视剧，１４人喜欢在平日看早期的电视节目，２１人喜欢看早期的电视剧，８人喜欢在乎日看电视剧，３１人喜欢在平日看电视节目，３６人喜欢看早期的电视节目，４０人喜欢看电视剧，１３人喜欢在周末看近期的电视节目，但不是电视剧．请你根据这些信息，判断有多少人不喜欢看电视剧和多少人喜欢在周末看电视节目．解法一设Ｍ为被调查的青年人的集合，Ａ为喜欢看电视剧的青年人的集合，Ｂ为喜欢看早期电视节目的青年人的集合，Ｃ为喜欢周末看电视节目将集合Ａ涂上阴影团，将集合Ｂ涂上阴影圆，的青年人的集合，用韦恩（Ｖｅｎｎ）图表示上述集合，将集合Ｃ涂上阴影衄圃，集合Ｍ涂上圈．根据题中调查数据看得下图，２００７年第４６卷第５期数学通报５９根据图得到答案：不喜欢看电视剧的青年人数为１２＋１３＋４＋１１（人），即４０人；喜欢在周末看电视节目的青年人数为１４＋１８＋４＋１３（人），即４９人．解法二设Ｍ为被调查的青年人的集合，Ａ为喜欢看电视剧的青年人的集合，Ｂ为喜欢看早期电视节目的青年人的集合，Ｃ为喜欢在平日看电视节目的青年人的集合，并记ｎｉＸ）为集合Ｘ内元素（人数）的个数．则上述调查的结果可以记为ｎ（ＡｎＢｎＣ）一３，ｎ（ＢＮＣ）一１４，竹（ＡＮＢ）一２１，ｎ（ＡＮＣ）一８，咒（Ｃ）一３１，咒（Ｂ）一３６，ｎ（Ａ）一４０，７ｚ（（Ｍ―Ａ）Ｎ（Ｍ―Ｂ）Ｎ（Ｍ―Ｃ））一１３将所要求的“不喜欢看电视剧的青年人的集合”记为Ｐ，“喜欢在周末看电视的青年人的集合”记为Ｑ则有Ｐ―Ｍ―Ａ，Ｑ―Ｍ―Ｃ由于Ｍ～（ＡＵＢＵＣ）一（Ｍ―Ａ）Ｎ（Ｍ―Ｂ）ｎ（Ｍ―Ｃ），可知咒（Ｍ一（ＡＵＢＵＣ））一１３，又知咒（ＡＵＢＵＣ）一，ｚ（Ｃ）＋咒（Ｂ）＋咒（Ａ）一ｎ（ＢＮＣ）一ｎ（ＡＮＢ）－－ｎ（ＡＮＣ）＋ｎ（ＡＮＢＮＣ）一４０＋３６＋３１―１４―２１―８＋３―６７由此可得咒（蚴＝１３＋６７＝８０．于是得到咒（Ｐ）一８０一４０＝４０，咒（Ｑ）一８０―３１―４９．４．（满分１８分）节日里某商场打折促销．宣布全场商品用ＲＭＢ每买１００元商品，就返给顾客１００元购物券．一顾客看中了一件上衣，标价是３５０元，她想买又犹豫，价格虽然较高，但若返３００元的购物券，相当于打了３５０／６５０―５４％折，还是挺合算的；转而又想，我没有别的需求，得到的３００元购物券做什么用呢？这时她的一位朋友说：“３５０元打五四折是１８９元，如果你打算买这件上衣，你出五五折的价钱１９２元，另１５８元钱由我补上，３００元的购物券归我．”这位顾客欣然同意了．之后，这位朋友又帮另万　方数据外两个人各买了一条标价为１５０元的裤子．加上返券，裤子相当于打了六折（９０元）．他提出每人按六二折付给他９３元，由他帮忙把这两条裤子买下．两人高兴地同意了，这位朋友拿到１８６元，在收银台使用他手中已有的３００元的购物券为裤子付了款．上述过程使他获得２８元．而买衣裤的三位顾客每人都是只比应该的折扣价多花了３元钱．请你分析，这位朋友收入的２８元钱是怎样挣来的？解粗看起来“买一百，返一百”相当于打五折．实际上并非如此，因为商场的商品很少被定价为整百元．如果商品的价格是优一ｌＯＯｎ＋口（元），其中ｎ≥１为整数，０≤ｎ＜１００，则加上返券，顾客实际所得到的折扣应该是丝：！ＱＱ丝±堡ｍ＋１００ｎ１００ｎ＋口＋１００ｎ一―１００ｎ―＋ａ＞２００ｎ＋ａ７０．５当商品的定价不是整百元的时候，口＞０，这时顾客所得到的是少于五折的折扣．这位朋友在为第一位顾客垫付１５８元买上衣时，他得到了３００元的购物券，相当于用１５８元以１５８／３００―５２．６７％折买到了３００元的券．后来用购物券为后面的顾客买裤子时，又将这３００元券以１８６／３００＝６２％的折扣换回了现金，从而挣到了两次折扣相差的部分３００ｘ（６２―５２。６７）％一２８元．５．（满分１８分）两条河舳，ＳＯ交汇于点０，（为简单起见，两条河假设是两线段）某人每天从他的住处点Ｐ先去河ＲＯ，＿９０取水样，再把水样带到点Ｑ处化验．如图１．（１）画出从点Ｐ到河Ｒ０，再到河∞，然后到点Ｑ的最短路，并给出具体作图步骤；Ｄ（２）画出从点Ｐ到河ＳＯ，再到河舳，然后到点Ｑ的最短图１路，并给出具体作图步骤；（３）上述两条最短路的长度恒等吗？如果不恒等，试给出它们相等的条件，并指出何时（１）中画出的路其长度小于（２）中路的长度．解（１）作图步骤是：①作点Ｐ关于直线ＲＯ的对称点Ｐ７，点Ｑ关于直线１９９的对称点Ｑ７；②连接Ｐ７与Ｑ７，设线段ＰＱ和ＲＯ、ＳＯ的交点６０数学通报２００７年第４６卷第５期分别为Ａ、Ｂ；③连接Ｐ与Ａ，Ｂ与Ｑ；折线ＰＡＢＱ是点Ｐ到河ＲＯ再到河ＳＯ，然后到点Ｑ的最短路．其长度就是线段Ｐ７Ｑ７的长度．事实上，利用对称性不难看出，任何其它的从点Ｐ到河ＲＯ再到河ＳＯ，然后到点Ｑ的路，都相当于从点Ｐ７到点Ｑ７的一条折线路，它的长度大于线段ｐ＇Ｑ７的长．（２）同（１）的做法．①作点Ｐ关于直线ＳＯ的Ｄ由点Ｐ和点Ｐ”及点Ｑ和点秽的对称性知，ＬＲＯｄ＇＝ＬＲＯＱ＝占，么Ｆ＇ｏｓ＝么ＰＯＳ―ＬＲＯＳ―ＬＲＯＰ一口一犀因此，么―幻∥一口一ｌ｜９＋ａ＋艿一２ａ一卢＋＆我们得到（１）中的路长不大于（２）中路长的充要条件是么Ｐ＇ＯＱ７≤么ｄ＇ＯＱ＂即２ａ一艿＋ｐ≤２ａ―ｐ＋艿，即ｐ≤＆当点Ｐ、Ｑ、０在一条直线上（口一ｄ）时，（１）和（２）中的最短路长度相等．Ｄｓ对称点，，点Ｑ关于直线ＲＯ的对称点秽；⑦连接线段少与硝，设当点Ｐ落在角ＬＲＯＱ中（口＜艿），先到ＲＯ后到１／Ｐ∞的最短路要比先到Ｓ０再到Ｒ０的最短路要短．６．（满分１８分）某大学每年要推荐优秀的本科生保送到本校读研究生．要对申请的学生排出名次，决定名次的因素有一次资格考试，有在大学期间的平时学习情况，还有能反映个人状况及潜在能力的综合素质．以下是１０位学生的５个方面的得分，请你设计一个合理的排序方案，提出具体的分数计算方法，并为他们做出排序．学生序号社会工作竞赛获奖科研活动资格考试平时学习０．８７６９２７６８４７４８６Ｏ．３０．４１６４８８０．４６２９０１２３４５０．３０．２Ｏ．２５７８４０．６５５８７５５８１６７Ｏ．７５８９Ｏ．１０．２０．２４９９００．６Ｏ．８４７８７１０Ｐ”线段ｄ＇Ｃｇ和ＳＯ、ＲＯ的交点分别为Ａ，、Ｂ，；③则连接Ｐ与Ａ，，Ａ，与Ｂ，，Ｂ。与Ｑ；折线ＰＡ。ＢＩＱ是点Ｐ到河ＳＯ再到河Ｒｏ，然后到点Ｑ的最短路．其长度就是线段Ｐｑ７的长度．（３）为了比较（１）和（２）中的路长，只需比较线段Ｐ位７和Ｐ’秽的长．为此，考虑ＡＯＰ，Ｑ７和ｚｘｏＰ＂Ｑ＂，线段Ｐ，Ｑ７和Ｐ位”分别是它们的一个边，而这两个三角形的其他两个边相等：即ＯＰ７＝ＯＰ”＝ＯＰ，∞７一ａｙ一０３．不难看出，为了比较线段Ｐ７Ｑ７和ＰＷ的长短，只需比较么Ｐ＇ＯＱ７和么ＰＤ∥的大小．（利用函数的单调性和余弦定理不难严格地证明这一点．事实上，当角ｚ取值在（ｏ，兀）时，ＣＯＳＴ是ｚ的减函数，从而一ｃｏ啦是ｚ的增函数．由余弦定理知，角Ｘ越大，对应边越长．）解（１）将社会工作、竞赛获奖和科研活动合并相加作为综合素质成绩．设墨为第ｉ个学生的综合素质成绩，则有么制的大小，我们设ＬＩ矗ｇＳ一口，ＬＲＯＰ＝ｐ，ＬＲＯＱ＝＆如图２．现在为了比较ＬＰ＇ＯＱ７和ＤＩ卜ｉ１０．８２０３Ｏ．３４１．４５Ｏ．７６０．４７１．３５８Ｏ９０．５１０１．４ＬＰ＇ＯＱ‘＝ＬＰ＇ＯＲ一－（２）为避免不同项目评分绝对数值大小不同的Ｐ”ｒ７ＬＲＯＳ＋么咒Ｑ７又由点Ｐ和点Ｐ７及点Ｑ和点Ｑ７的对称性知影响．分别将综合素质、资格考试和平时成绩这三项得分标准化．归一标准化方法：将各项目的最高成绩取为１．最低成绩取为０，其它的成绩根据它与最低成绩之差的比例折算．设Ｘｉ为第ｉ个学生的综合素质成绩，五为这个学生的综合素质归一标准化成绩，计算；ｉ么跚７＝么跚＝么麟一么腆一口一＆么Ｐ。ＯＩＲ―ＬＲＯＰ一８，因此，么Ｐ伪７一Ｂ＋ａ＋ａ－ｃ？一２ａ一艿＋盆同理，么ＰＤ∥一么ｍ＋ＬＲＯＳ＋么．剃万方数据　的方式为五２ｉ＆ｘ＆‘－－了ｔｒ二ｉｍｉ｛ｘ而，｝，于是得到２００７年第４６卷第５期数学通报６１一个不等式的推广戎健君（江苏省丹阳市教研室２１２３００）号成立．３０页的一道习题：已知口＞ｂ＞ｃ，求证：ｉ毛＋矿笔＋ｉ笔＞ｏ，引导学生进行了探究．将薯南≥．等＝结论的证明：原不等式等价于不等式．Ｖ！：鲁（啦一口州）２卜１夕＞一！丝二！！（口。一口１）２卜１此不等式加强为ｉ毛＋矿笔＋ｉ笔≥ｏ．进一步当（”一１）２‘口＞６＞例咖Ⅱ有南０＋老０＋土＋士口一一ＣＣ一口口一日喜南一Ｚ霎．Ｊ南≥（口１一锡）２“由引理得Ｐ！台（口ｉ一口斗１）２Ｈ一Ｖ！＞剐（砚一口斗１）秘１少将上述二不等式推广．便有下面的Ｎ。，则有石南＋石南＋……＋（善１）“一（ｎ－１）２ｋ器≥。曼（口。一口矗卜，。，－－ａｒｔ）２＆－１当且仅当口。，口。，…，％构成等差数列时取等号．（由已知函＞ａ，＞…＞ｎ。，故公差不为零）．为证明本结论，先给出下面的引理（见文［２］）．引理设反，ｂｌ∈耻，ｉ―ｌ，２，…，雅，口＞０，则参考文献１许金松．对一道不等式习题的探究性学习，数学通报，２００４，９有㈦ｂ万ｌｔｒ４－１≥筹ａｉ）龃嘴毫ｂｌ时等２俞武扬．一个猜想的证明．数学通报，２００２，２。１％（∑。巩∑ｉ１２３４５６７８９１０（注：数据标准化方法很多，只要有道理，酌情给分）旧Ｘ０．５７ＯＯ．２１１０．５０．２９０．９６Ｏ０．３６１（３）这样就可以将综合素质、资格考试和平时设冀为第ｉ个学生的资格考试成绩，夏为这个学习这三项归一标准化成绩求和进行排名．学生的资格考试归一标准化成绩，ｚｉ为第ｉ个学生设Ｍ为第ｉ个学生综合素质、资格考试和平时的平时学习成绩，乏为这个学生的平时学习归一标学习这三项归一标准化成绩的和，则准化成绩，则同理可得ｌ１２３４５６７８９１０Ｍ２．５７１．２７１．５９２．２３１．８４０．９０１．７９Ｏ．２８１．２５１．５５名次１７５２３９４１０８６１１０．９３０．５９０．５２０．３４０．２８０．２８０．０７｜０１０．２７０．４５０．６４０．８２０．２７０．５５０｝０．８２０．５５万　方数据包含各类专业文献、高等教育、外语学习资料、行业资料、幼儿教育、小学教育、专业论文、文学作品欣赏、应用写作文书、第十届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考答案87等内容。
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出门在外也不愁求助1道第10题谢谢高二数学关于圆_百度知道
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这个题还是比较难得，是数形结合的典型题目
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（-无穷，-3/2]U[4/3，+无穷）
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出门在外也不愁？高一数学第十题 在线等 过程_百度知道
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1、因为 图像关于 直线 x=-π/8 , 可知 f(x)=f(-π/4-x)代入 sin2x+acos2x == sin(-π/2-2x)+ acos(-π/2-2x)--利用诱导公式化简
== -cos2x - a sin2x
移项整理可得
sin2x+cos2x == -a (sin2x + cos2x)
所以 a= -1 2、基本函数y=sinx的对称轴是直线 x=kpi+pi./2 所以此函数的对称轴是直线 2x+f=kpi+pi/2. 已知对称轴之一是 x=-pi/8, 故 2(-pi/8)+f=kpi+pi/2. ---&f=kpi+3pi/4 ---&tanf=tan(kpi+3pi/4)=-1 ---&a=-1.
第一个可知后面是为什么
图像关于x=a对称,则有f(x)=f(2a-x)
是吗？没学过啊
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太给力了，你的回答完美解决了我的问题！
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函数y=sin2x+acos2x=√(1+a^2)sin(2x+ω)的形式，因为其对称轴x=-π/8必经过图像的最高点或最低点，所以x=-π/8时函数取得最值，所以：sin(-π/4)+acos(-π/4)=√(1+a^2)或sin(-π/4)+acos(-π/4)=-√(1+a^2)，解得：a=-1，故选B
能详细点吗
就是取特值
第二部怎么得的
这个公式什么时候学的啊
没有公式，就是取了个特殊值
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