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只含有一个未知数,并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程有5种解法,即、、、、图像法。公式法不能解没有实数根的方程(也就是b?-4ac&0的方程),其它所有一元二次方程都能解。,必须要把所有的项移到等号左边,并且等号左边能够分解因式,使等号右边化为0。配方法比较简单:首先将二次项系数a化为1,然后把常数项移到等号的右边,最后在等号两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方,左边配成完全平方式,再开方就得解了。外文名quadratic equation of one unknown类&&&&型整式方程求根公式x=[-b±√(b?-4ac)]/2a解&&&&法&公式 因式分解 直接开方法
先化简,后判断。
一元二次方程必须同时满足三个条件:
①是,即等号两边都是,方程中如果有;且在分母上,那么这个方程就是,不是一元二次方程,这点请注意!
②只含有一个未知数;
③未知数项的最高次数是2。[1]一般地,任何一个关于x的一元二次方程经过整理,都能化成如ax2+bx+c=0 (a≠0,且a,b,c是)的形式。这种形式叫一元二次方程的一般形式。b和c可取任意,而a必须是不等于0的。要先确定二次项系数,再确定一次项系数和常数项,必须先把一元二次方程化成一般形式。[2] (a、b是,a≠0);
(a、c是,a≠0);
(a是,a≠0).
注:a≠0这个条件十分重要.形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接法解一元二次方程。
如果方程化成 的形式,那么可得 。
如果方程能化成 (p≥0)的形式,那么 ,进而得出方程的根。  注意:
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数。  ②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。  ③方法是根据平方根的意义开平方。步骤
将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫。
用法解一元二次方程的步骤:
①把原方程化为一般形式;
②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;
⑤如果右边是,即可进一步通过直接开平方法求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解。
配方法的理论依据是a?+b?±2ab=(a±b)?
配方法的关键是:先将一元二次方程的二次项系数化为1,然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
例一:用配方法解方程 3x2-4x-2=0
解:将常数项移到方程右边 3x2-4x=2
方程两边都加上一次项系数一半的平方:
直接开平方得:
∴原方程的解为 , .步骤
用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根。
用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为:
①把方程化成一般形式 ,确定a,b,c的值(注意符号);
②求出 的值,判断根的情况;
③在 (注:此处△读“德塔”)的前提下,把a、b、c的值代入公式 进行计算,求出方程的根。
一元二次方程的求根公式导出过程如下:
(为了配方,两边各加 )
(化简得)。
一元二次方程的求根公式在方程的系数为、、或是任意中适用。
一元二次方程中的判别式:根号下b?-4ac
应该理解为“如果存在的话,两个自乘后为的数当中任何一个”。在某些中,有些数值没有。
一元二次方程的求根公式导出过程如下:
a的取值范围任意,c取值范围任意,b=(a+1)√c。从a b c 的取值来看可出1亿道方程以上,与因式分解相符合。
运用韦达定律验证:
即利用因式分解求出方程的解的方法。
因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原图解法方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解的问题(数学)。
因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
①移项,使方程的右边化为零;
②将方程的左边分解为两个的乘积;
③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;
④解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程的解。[1]一元二次方程 的根的意义是 的图像(为一条)与x轴交点的X坐标。当 时,则该函数与x轴图解法相交(有两个交点);当 时,则该函数与x轴相切(有且仅有一个交点);当 时则该函数与x轴相离(没有交点)。
另外一种解法是把一元二次方程 化为:
则方程的根,就是函数 和 交点的X坐标。
通过作图,可以得到一元二次方程根的近似值。在使用计算机解一元二次方程时,和人手工计算类似,大部分情况下也是根据下面的公式去解
可以进行符号运算的,比如软件,可以给出根的解析表达式,而大部分程序则只会给出数值解(但亦有部分显示平方根及)。(1)一元二次方程的()的意义:  能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。一元二次方程的解也称为一元二次方程的根(只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根)。
(2)一元二次方程一定且最多有两个解,也有可能没有解(指实数范围内没有解,但在虚数范围内仍有两个解),那就要看判别式()利用一元二次方程根的( )可以判断方程的根的情况。
一元二次方程 的根与根的 有如下关系:
①当 时,方程有两个不相等的实数根;
②当 时,方程有两个相等的根;
③当 时,方程无实数根,但有2个。
上述结论反过来也成立。公元前2000年左右,的数学家就能解了。他们是这样描述的:已知一个数与它的之和等于一个已给数,求出这个数。他们使x1+x2=b,x1x2=1,x2-bx+1=0,再做出解答。可见,古巴比伦人已知道一元二次方程的解法,但他们当时并不接受,所以负根是略而不提的。
的中也涉及到最简单的二次方程,例如:ax2=b。
大约480年,已经使用配方法求得了二次方程的正根,但是并没有提出通用的求解方法。《》勾股章中的第二十题,是通过求相当于x2+34x-71000=0的正根而解决的。中国数学家还在方程的研究中应用了。
公元前300年左右,的(Euclid)(约前330年~前275年)提出了用一种更抽象的几何方法求解二次方程。
的(Diophantus)(246~330)在解一元二次方程的过程中,却只取二次方程的一个正根,即使遇到两个都是正根的情况,他亦只取其中之一。
公元628年,的(Brahmagupta)(约598~约660)出版了《》,得到了一元二次方程x2+px+q=0的一个求根公式。
公元820年,的(al-Khwārizmi) (780~810)出版了《》。书中讨论到方程的解法,除了给出二次方程的几种特殊解法外,还第一次给出了一元二次方程的一般解法,承认方程有两个根,并有无理根存在,但却未有的认识。他把方程的未知数叫做“根”,后被译成radix。其中涉及到六种不同的形式,令a、b、c为,如ax2=bx、ax2=cx、ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c等。把二次方程分成不同形式作讨论,是依照的做法。
法国的韦达()除推出一元方程在范围内恒有解外,还给出了。
新手上路我有疑问投诉建议参考资料 查看福尼斯焊机的一元焊接特征曲线焊接时是如何工作的,是会自动选择设置的特征点吗,还是有其他的工作方式?
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福尼斯焊机的一元化焊接模式是在一条固定的外特性曲线上进行工作,这样只需调整一个参数(电流或电压)另一个参数就会根据最优外特性曲线进行调整,减小了参数调节的难度
我们用的motoman焊机,也是一元法,等速送丝保证焊接的稳定性。设置电流值,电压设定一定比例(焊机内包含数据库匹配),焊机特性文件都是出厂默认,新焊机问题不大时间久了需要校对。一元一次方程_百度百科
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含有一个未知数,并且未知数项的最高次数是1次的整式方程是一元一次方程。外文名linear equation with one unknown类&&&&型整式方程求解公式x=-b/a发名者
一元一次方程的标准形式(即所有一元一次方程经整理都能得到的形式)是( , 为, 为,且 )。其中 是未知数的, 是常数, 是未知数。未知数一般设为 , , 。(1)该方程为。
(2)该方程有且只含有一个未知数。
(3)该方程中未知数的最高是1。
满足以上三点的方程,就是一元一次方程。要判断一个方程是否为一一次方程,先看它是否为整式方程。若是,再对它进行整理。如果能整理为 的形式,则这个方程就为一元一次方程。里面要有等号,且分母里不含未知数。
(,为,为未知数,且)一元一次方程的标准形式:ax+b=0 (a≠0)
其求公式为:x=-b/a
一元一次方程只有一个根去分母→去括号→移项→合并同类项→未知项系数化为1(即化为x=a的形式)(1)总量等于各分量之和。将未知数放在等号左边,常数放在右边。如:。
(2)等式两边都含未知数。如:,。3b=-1
都是一元一次方程。“方程”一词来源于中国古算术书《》。在这本著作中,已经列出了一元一次方程。法国数学家把未知数和常数通过所组成的方程称为。在19世纪以前,方程一直是的核心内容。一元一次方程通常可用于做应用题,如工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问题、球赛积分表问题、电话(水表、电表)计费问题、数字问题等。[1](1)依据:
(2)把所含字母相同且相同字母的指数也相同的项合并成一项;计算后合并成一项
(3)合并时次数不变,只是相加减。(1)依据:等式的性质1
(2)含有未知数的项变号后都移到方程左边,把常数项移到右边。
(3)把方程一边某项移到另一边时,一定要变号(如:时将+改为-,×改为÷)。的性质一:等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个,等式仍然成立。
等式的性质二:等式两边同时乘或除以一个不为零的代数式,等式仍然成立。
等式的性质三:等式两边同时(或),等式仍然成立。
都是依据等式的这三个。
解的定义:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解,也可以说是满足方程的一个数值一、去分母
做法:在方程两边各项都乘以各分母的;
依据:等式的性质2
二、去括号
一般先去小括号,再去中括号,最后去大括号,可根据(记住如括号外有减号或除号的话一定要变号)
依据:乘法分配律
做法:把方程中含有未知数的项都移到方程的一边(一般是含有未知数的项移到方程左边,而把常数项移到右边)
依据:等式的性质1
四、合并同类项
做法:把方程化成ax=b(a≠0)的形式;
依据:乘法分配律(逆用乘法分配律)
五、系数化为1
做法:在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=b/a。
依据:等式的性质2.去分母,去括号,移项时,要变号,,合并好,再把系数来除掉。如果两个方程的解相同,那么这两个方程叫做。(1)方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。
(2)方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。由于一元一次方程是,故教科书上的解法只有上述的方法。
但对于标准形式下的一元一次方程:ax+b=0 (a≠0)。
可得出求根公式 。由于一元一次函数都可以转化为ax+b=0(a,b为常量,a≠0)的形式,所以解一元一次方程就可以转化为:
当某一个函数值为0时,求相应的自变量的值。从图像上看,这就相当于求直线y=kx+b(k,b为常量,k≠0)与x轴交点的横坐标的值。题目:已知ax=b是关于x的方程(a、b为常数),求x的值。
分析:要牢牢抓住一元一次方程的定义,进行分类讨论。
解:当a≠0时, 。
当a=0,b=0时,方程有无数个解(注意:这种情况不属于一元一次方程,而属于恒等方程)
当a=0,b≠0时,方程无解(注意:此种情况也不属于一元一次方程)题目:解方程
分析:按照一元一次方程的解法顺序一步步进行,计算要细心。
解:去,得
检验:把 代入原方程
∴ 是原方程的解若a=b,则a+c=b+c,a-c=b-c(等式的性质1)。
若a=b,则ac=bc,a÷c=b÷c (c≠0) (等式的性质2)[2]做一元一次方程的重要方法:
(1)认真(审题)
(2)分析已知和
(3)找一个合适的
(4)设一个恰当的未知数
(5)列出合理的方程 (列式)
(6)解出方程(解题)
(8)写出答案(作答)在小学会学习较浅的一元一次方程,到了初中开始深入的了解一元一次方程的解法和利用一元一次方程解较难的应用题。一元一次方程牵涉到许多的实际问题,例如工程问题、植树问题、比赛比分问题、行程问题、行船问题、相向问题分段收费问题、盈亏、利润问题。
列方程时,要先设字母表示未知数,然后根据问题中的相等关系,写出含有未知数的等式,即(equation)。
(1)4x=24
(3)0.52x-(1-0.52)x=80
分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用解决实际问题的一种方法。(1)使学生初步掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤,并会列出一元一次方程解简单的应用题;
(2)培养学生观察能力,提高他们分析问题和解决问题的能力;
(3)使学生初步养成正确思考问题的良好习惯。一元一次方程解简单的应用题的方法和步骤。(1)从学生原有的认知结构提出问题:在小学中,我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识,那么,一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢?若能解决,怎样解?用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较,它有什么优越性呢?
为了回答上述这几个问题,我们来看下面这个例题。
例1:某数的3倍减2等于某数与4的和,求某数。
(首先,用算术方法解,由学生回答,教师板书)
解法1:(4+2)÷(3-1)=3。
答:某数为3。
(其次,用代数方法来解,教师引导,学生口述完成)
解法2:设某数为x,则有3x-2=x+4。
解之,得x=3。
答:某数为3。
纵观例1的这两种解法,很明显,算术方法不易思考,而应用设未知数,列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法,有一种化难为易之感,这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一。
我们知道方程是一个含有未知数的等式,而等式表示了一个相等关系。因此对于任何一个应用题中提供的条件,应首先从中找出一个相等关系,然后再将这个相等关系表示成方程。
本节课,我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤。
(2)师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤
例2.某面粉仓库存放的面粉运出15%后,还剩余42 500千克,这个仓库原来有多少面粉?
师生共同分析:
1.本题中给出的已知量和未知量各是什么?
2.已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系?(原来重量-运出重量=剩余重量)
3.若设原来面粉有x千克,则运出面粉可表示为多少千克?利用上述相等关系,如何布列方程?
上述分析过程可列表如下:
解:设原来有x千克面粉,那么运出了15%x千克,由题意,得x-15%x=42500,所以 x=50000。
答:原来有50000千克面粉。
此时,让学生讨论:本题的相等关系除了上述表达形式以外,是否还有其他表达形式?若有,是什么?  (还有,原来重量=运出重量+剩余重量;原来重量-剩余重量=运出重量)
教师应指出:
1.这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”,虽形式上不同,但实质是一样的,可以任意选择其中的一个相等关系来列方程
2.例2的解方程过程较为简捷,同学应注意模仿.
依据例2的分析与解答过程,首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤;然后,采取提问的方式,进行反馈。
最后,根据学生总结的情况,教师总结如下:
1.仔细审题,透彻理解题意.即弄清已知量、未知量及其相互关系,并用字母(如x)表示题中的一个合理未知数
2.根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系.(这是关键一步);
3.根据相等关系,正确列出方程.即所列的方程应满足两边的量要相等;方程两边的代数式的单位要相同;题中条件应充分利用,不能漏也不能将一个条件重复利用等;
4.求出所列方程的解;
5.检验后明确地、完整地写出答案.这里要求的检验应是,检验所求出的解既能使方程成立,又能使应用题有意义。
6.最好能用计算器再进行一次验算。引导——活动——讨论[3]启发式教学。主要概念:
1、:含有未知数的等式叫做方程。 2、一元一次方程:只含有一个未知数,未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程。 3、方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 4、解方程:求方程的解的过程叫做解方程。
等式的性质1:等式两边都加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等。
等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。
解一元一次方程的一般步骤及根据:
1.去分母——等式的性质2
2.去括号——分配律
3.移项——等式的性质1
4.合并——
5.系数化为1——等式的性质2
6.验根——把根分别代入方程的左右边看求得的值是否相等(1)分母是小数时,根据分数的基本性质,把分母转化为整数;
(2)去分母时,方程两边各项都乘各分母的最小公倍数,此时不含分母的项切勿漏乘,分数线相当于括号,去分母后分子各项应加括号;
(3)去括号时,不要漏乘括号内的项,不要弄错符号;
(4)移项时,切记要变号,不要丢项,有时先合并再移项,以免丢项;
(5)系数化为1时,方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数,不要弄错符号;
(6)不要生搬硬套解方程的步骤,具体问题具体分析,,找到最佳解法。[4]
(7)分、小数运算时不能嫌麻烦。
(8)不要跳步,一步步仔细算。)
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