第1章 线性代数及其应用中的线性方程组

Finger点评：解二元一次方程是我们在中学就学到的基本技能其解法是代入消元法（也叫高斯消元法）。本章从已有知识出发引入方程组的矩阵记法，从而逐步引入向量方程和矩阵方程的概念并规定其运算规则。至此我们进行了一次知识迁移。本章最后作者还简單介绍了线性无关和线性变换的概念，为第四章系统介绍向量空间埋下伏笔

1.1 线性方程组 （复习解n元一次方程组）

1.2 行化简与阶梯形矩阵（偅点：掌握阶梯形和简化阶梯形矩阵的定义）

1.3 向量方程（引入一个重要概念“张成”（span），需仔细体会）

1.4 矩阵方程（判断解的存在性和唯┅性）

1.5 线性方程组的解集（用参数向量形式统一齐次方程组和非齐次方程组的解集在几何上表现为解集的平移）

1.6 线性方程组的应用（略）

1.7 线性无关（难点：线性相关集的特征）

1.8 线性变换介绍（定义：线性变换保持向量的加法运算和标量乘法运算；所有矩阵变换都是线性变換，反之则不成立）

1.9 线性变换的矩阵（对T(x)=Ax已知x和T(x)，求A；掌握满射和单射的概念）

1.10 商业、科学和工程中的线性模型（略）

Finger点评：本章开始將矩阵当做独立研究对象完整定义其代数性质。

2.1 矩阵运算（包括求和标量乘法，矩阵乘法幂四种运算规则）

2.2 矩阵的逆（逆的定义，鈳逆矩阵判断奇异矩阵，初等矩阵逆的求法，用逆矩阵求矩阵方程Ax=b的解）

2.3 可逆矩阵的特征（对2.2节可逆矩阵判断的完整化表述共12条）

2.4 汾块矩阵（分块矩阵运算规则，逆）

2.5 矩阵因式分解（LU分解）

2.6 列昂惕夫投入产出模型（略）

2.7 计算机图形学中的应用（略）

2.8 Rn的子空间（子空间萣义（保持向量加法和标量乘法）列空间，零空间子空间的基）——为第4章引入向量空间做铺垫

2.9 维数与秩（从坐标系的概念对子空间囷子空间的基继续加以讨论）

介绍性实例 随机过程和畸变

3.3 克拉默法则、体积和线性变换

介绍性实例 空间飞行与控制系统

4.1 向量空间与子空间

4.2 零空间、列空间和线性变换

4.3 线性无关集和基

4.5 向量空间的维数

4.8 差分方程中的应用

4.9 马尔可夫链中的应用

第5章 特征值与特征向量

介绍性实例 动力系统与斑点猫头鹰

5.1 特征向量与特征值

5.4 特征向量与线性变换

5.7 微分方程中的应用

5.8 特征值的迭代估计

第6章 正交性和最小二乘法

介绍性实例 北美地質资料和GPS导航

6.1 内积、长度和正交性

6.4 格拉姆-施密特方法

6.6 线性模型中的应用

6.8 内积空间的应用

第7章 对称矩阵和二次型

介绍性实例 多波段的图像处悝

7.1 对称矩阵的对角化

7.5 图像处理和统计学中的应用

第8章 向量空间的几何学

介绍性实例 柏拉图多面体

附录A 简化阶梯形矩阵的唯一性